Завдання 5

Виробничий процес фірми характеризують такі дані:

• β = 0,2491;

• α = 0,44;

• А = 13.

K	L	Q
9	52,2303	300
9	104,4606	438,9572
9	156,6909	548,4230

Як бачимо, кількість праці зростає на однакову величину, а саме: ∆L=52,2303. У результаті збільшення кількості праці обсяг виробництва також зріс, про темп приросту сповільнюється : ∆Q₁=138,9572; ∆Q₂=109,4658. За таких умов, коли збільшення кількості праці на певну фіксовану величину за незмінної кількості капіталу призводить до сповільнення зростання обсягу виробництва, існує спадна віддача від масштабів (рис.12).

,

Рис.12. Спадна віддача від праці

K	L	Q
231,5217	8,1	450
463,0434	8,1	594,5462
694,5651	8,1	729,7011

Отже, з таблиці зрозуміло, що кількість капіталу зростає на однакову величину, а саме: ∆К=231,5217. Кількість праці при цьому залишається незмінною. У результаті нарощування кількості капіталу обсяг виробництва зростає, однак темп приросту сповільнюється: ∆Q₁=144,5462; ∆Q₂=135,1549. За таких умов говорять про спадну віддачу від капіталу (рис.13).

Рис.13. Спадна віддача від капіталу

K	L	Q
9	52,2303	300
18	104,4606	595,4840
36	156,6909	1009,2877

У цьому випадку α+β=0,9891 < 1, отже, повинна існувати віддача від масштабів, що спадає. Це доводиться так.

Як бачимо з таблиці, кількість вхідних ресурсів – праці і капіталу – зростає вдвічі. Обсяг виробництва, однак, зростає менше, як вдвічі, а саме:

Q₂/ Q₁ = 1,9849 < 2

Q₃/ Q₂= 1,6949 < 2

Отже, існує спадна віддача від масштабів.

K	L	Q
100,0228	87	300
107,1817	77	300
115,9643	67	300
127,0770	57	300
141,7412	47	300
162,2989	37	300
193,9923	27	300
252,0750	17	300
416,5728	7	300

1.Щоб записати рівняння виробничої функції, потрібно початкові дані підставити у виробничу функцію Кобба-Дугласа, зокрема:

Q=13 K^0,44 L^0,2491.

Для запису алгебраїчного виразу ізокванти потрібно у виробничу функцію підставити Q з таблиці та виразити Lчерез K, чи навпаки.

2.Будуємо ізокванту (рис.14)

Рис.14. Ізокванта

Обчислюємо граничну норму технічної заміни для кожної точки ізокванти, використовуючи таку формулу:

MRTS= .

MRTS₁= =0,6509;

MRTS₂=0,7880;

MRTS₃=0,9799;

MRTS₄=1,2622;

MRTS₅=1,7073;

MRTS₆=2,4833;

MRTS₇=4,0676;

MRTS₈=8,3946;

MRTS₉=33,6910.

3.За P_L=90; P_K=268,58 визначаємо витрати виробництва для кожної з комбінацій праці і капіталу.

Витрати виробництва визначаються за такою формулою:

TC = P_L*L+P_K*K.

Отже:

TC₁=34693,9840;

TC₂=35716,8610;

TC₃=37175,6917;

TC₄=39260,3407;

TC₅=42298,8515;

TC₆=46920,2386;

TC₇=54532,4519;

TC₈=69232,3035;

TC₉=112513,1226.

Серед усіх визначених значень витрат мінімальним є значення TC₁.

Таке значення досягається за такої комбінації праці і капіталу:

L=87; K=100,0228.

Рівняння із окости матиме такий вигляд:

34963,9840=90 L+268,58 K.

Будуємо цю із окосту (рис.15).

Рис.15. Ізокоста

4.Щоб з’ясувати, чи є обчислений в попередньому пункті рівень витрат найменшим, потрібно скористатись правилом найменше витрат:

MP_L/P_L= MP_K/P_K.

Для спрощення це правило записують у такому форматі:

MRTS=P_L/P_K.

Отже, в нашому випадку виявлено, що для виробництва заданого обсягу продукції за виявленої комбінації праці і капіталу:

L=87; K=100,0228 – ця рівність не досягається, тобто:

MRTS= = =0,6509;

P_L/P_K=90/268,58=0,3351; Отже, MRTS≠P_L/P_K.

Тому, враховуючи рівність MRTS=P_L/P_K, обчислюємо оптимальні значення праці і капіталу.

У результаті обчислення ми отримаємо такі оптимальні значення праці та капіталу:

L_ОПТ=132,9307; K_ОПТ=78,6805.

Оптимальне, тобто мінімальне значення витрат становлення:

ТС_ОПТ=90*132,9307+268,58*78,6805=33095,7717.

Рівняння ізокванти матиме такий вигляд:

33095,7717=90 L+268,58 K.

Будуємо модель виробництва за найменших витрат (рис.16).

К

L

Рис.16. Модель виробництва за найменших витрат