2.3. Производная по направлению и градиент

Частные производные и представляют собой производные от функции по двум частным направлениям осей и . Пусть - дифференцируемая функция в некоторой области , . Пусть - некоторое направление, а - орт этого направления. Пусть - точка в направлении от . Обозначим . Тогда , .

Определение 9. Предел отношения

называется производной функции по направлению .

Так как

при , то

.

Теорема 3. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности , равна нулю.

З а м е ч а н и е. По аналогии со случаем двух переменных для функции трех переменных производная по направлению вектора равна

,

где - орт направления .

Определение 10. Градиентом функции называется вектор с координатами .

Теорема 4. Имеет место равенство , т. е. производная по направлению равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления .

Следствие. Вектор в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

Задание 3. Найти производную функции по направлению вектора в точке .

Решение.

1. вычисляем частные производные функции в точке .

2) градиент функции в точке имеет вид:

3) находим орт вектора .

4) производная функции по направлению вектора равна

Рис.3 – Решение задания 3

2.4. Экстремум функции двух переменных

Определение 11. Точка называется точкой максимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .

Определение 12. Точка называется точкой минимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .

Определение 13. Точка max или точка min функции называется точкой экстремума (точкой ext).

Определение 14. Значения функции в точках max и точках min называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции .

Теорема 5(необходимые условия существования ext).

Если точка является точкой ext, то в этой точке обе частные производные и равны нулю.

З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не существовать.

П р и м е р 6. – конус. Точка – точка ext, в которой и не существуют.

Обратная теорема не верна.

П р и м е р 7. ; , ,

имеем точку .

В любой малой окрестности точки приращение не сохраняет знака. Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Определение 15. Точки, в которых и равны нулю или не существуют, называются критическими точками на ext.

Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема и точка критическая, т.е. и в точке .

Если полный дифференциал знакопостоянен, то точка является точкой экстремума, причем точкой max, если и точкой min, если .

– квадратичная форма относительно приращений и . Введём обозначения: , , .

Определение 16. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), если и ( ).

Таким образом,

1) , точка – точка min;

2) , точка – точка max,

3) точка не является точкой экстремума;

4) требуется дополнительное исследование для точки .

Задание 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер.

Решение.

1. найдем частные производные первого порядка.

2) для нахождения критических точек решим систему.

Точка (21,20) – критическая.

3) с помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.

Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.

Рис.4 – Решение задания 4