Лабораторная работа №4 Функции нескольких переменных

1. Цель работы: исследование функций нескольких переменных в программе MathCad

2. Указания к выполнению лабораторной работы:

2.1 Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня

Определение 1. Если каждой точке из множества точек евклидова пространства по известному закону ставится в соответствие некоторое число , то говорят, что на множестве задана функция переменных , обозначение .

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество значений функции называется множеством значений функции и обозначается . Значение называется частным значением функции.

Очевидно, что

1) – функция одной переменной ;

2) – функция двух переменных и ;

3) – функция переменных .

П р и м е р ы. 1. – линейное уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором , где числа , , .

2. Для функции

– круг ,

.

Пусть мы имеем поверхность . Если координаты любой точки удовлетворяют некоторому уравнению , то поверхность будет называться графиком функции .

Функция трёх, четырёх и т.д. переменных не имеют геометрического изображения в трёхмерном пространстве.

В примере 1 графиком функции является плоскость, в примере 2 – полусфера радиусом 2 с центром в начале координат.

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию , где - константа.

Задание 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.

Решение. Задаем функцию и стоим графики линий уровня.

Вывод: при линии уровня – это пара пересекающихся прямых, при линии уровня – гиперболы. Строим график самой функции и находим эти линии уровня на графике самой функции.

Рис.1 – Решение задания 1

2.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Пусть функция определена на некотором открытом множестве .

Определение 2. Частным приращением в точке по переменной называется

.

Определение 3. Частной производной по функции в точке называется

, если он существует.

Функция при изменении только одной переменной становится функцией одной переменной . Частная производная обозначается так:

, , , .

П р и м е р ы. 3. . Частные производные и .

4. . Частные производные и

.

Определение 4. Выражение

(1)

называется полным приращением функции в любой фиксированной точке .

Если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то выражение (1) можно записать как

. (2)

Линейная часть полного приращения функции относительно и в равенстве (2) называется главной частью полного приращения .

Определение 5. Полным дифференциалом функции в точке называется главная часть полного приращения и обозначается .

Таким образом,

.

Приращения и независимых переменных и называются дифференциалами и обозначается символами и : , .

Тогда формула полного дифференциала примет вид:

.

З а м е ч а н и е 1. Для функции трех переменных полный дифференциал можно найти по формуле .

Определение 6. Функция называется дифференцируемой в области , если для любой точки полное приращение находится по формуле

,

где и – бесконечно малые функции вместе с и .

Теорема 1. Для того чтобы была дифференцируема в области , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна вместе со своими частными производными и в области .

Если и – дифференцируемы в некоторой области , то функции и имеют частные производные, которые назовём частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции .

Введём обозначения:

, , , или соответственно , , , .

П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. , , , , ,

.

Аналогично можно ввести частные производные третьего, четвёртого, …, -ого порядков.

Определение 7. Функция , имеющая непрерывные частные производные до -ого порядка включительно в области , называется раз непрерывно дифференцируемой в области .

Теорема 2. Если функция раз непрерывно дифференцируема в области , то смешанные частные производные -ого порядка не зависят от порядка дифференцирования.

Определение 8. Полным дифференциалом второго порядка (вторым полным дифференциалом) называется полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка:

.

Найдём .

.

З а м е ч а н и е 2. Для функции трех переменных полный дифференциал второго порядка

.

Аналогично можно найти полные дифференциалы , , …, , используя определение: .

Задание 2. Для функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке .

Решение. Находим частные производные функции первого порядка и подставляем их в формулу для полного дифференциала первого порядка.

Вычисляем частные производные второго порядка и полный дифференциал.

Рис.2 – Решение задания 2