5. Двухфакторные производственные функции.

В приведенном ниже списке функции располагаются в порядке возрастания сложности их записи и, соответственно, увеличения количества необходимых для этого параметров. Все они допускают возможность их модификации.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (Функция Леонтьева):

, (1)

где Параметры.

Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые выделяют функции этого вида:

1.  предельная производительность первого фактора является кусочно-постоянной невозрастающей функцией от отношения , предельная производительность второго фактора – неубывающей кусочно-постоянной функцией от ;

2.  функция является решением задачи оптимизации:

,

Где Переменная, которую оптимизируют.

3.  функция является однородной, а эластичность замещения факторов равна нулю;

4.  функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида

Путем предельного перехода: .

Функция Леонтьева предназначена В основном для моделирования строго детерминированных технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.

2. Функция Кобба-Дугласа:

, (2)

Здесь также используется несколько систем гипотез, которые выделяют класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций двух переменных:

1.  эластичности выпуска по факторам являются постоянными:

, .

Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка принадлежит к классу функций Кобба-Дугласа;

2.  эластичность функции по одному из факторов является постоянной, и функция является однородной;

3.  функция является однородной, а эластичности уменьшения факторов по Алену и Михайловскому равны единице;

4.  предельная производительность каждого фактора является пропорциональной его средней производительности;

5.  функция является однородной функцией , и как функция от при любом фиксированном ;

6.  функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем существования замены вида

И предельного перехода . Функция Кобба-Дугласа чаще всего Используется для формализованного описания среднемасштабных хозяйственных объектов и экономики страны в целом.

3. Линейная функция:

. (3)

Предпосылки и гипотезы:

1.  предельные производительности факторов являются постоянными:

, ,

А в нуле функция равна нулю;

2.  предельная производительность одного из факторов будет постоянной и однородной первой степени:

, ;

3.  функция однородная, и эластичность замещения факторов по Алену является бесконечной;

4.  эластичность выпуска по факторам обратно пропорциональна их средней производительности.

Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупные отрасли, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль играет гипотеза постоянства предельных производственных факторов или их неограниченного замещения.