Упражнения

8.1. Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

8.2*. Разложить в сумму простых дробей (с помощью интерполяционного многочлена в форме Лагранжа) .

8.3. Разложить в сумму простых дробей (с помощью интерполяционного многочлена в форме Лагранжа):

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

8.4*. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона .

8.5. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

8.6. Найти сумму (используя интерполяционный многочлен в форме Ньютона):

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) , .

8.7. Многочлен при делении на имеет остаток 1, на имеет остаток 3, на имеет остаток 5, на имеет остаток 6. Найти остаток от деления на .

8.8. Показать, что многочлены над числовым полем равны тогда и только тогда, когда их значения совпадают на любом элементе поля.

9. Неприводимый многочлен, его свойства

Многочлен, с коэффициентами из поля , называется неприводимым над полем , если его нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней с коэффициентами из этого поля. Например, многочлен неприводим над полем рациональных чисел и приводим над полем вещественных чисел ( ). Многочлены первой степени неприводимы над любым числовым полем.

Многочлен над полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых над полем многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.

Многочлен степени имеет не более корней.

Приведем простейшие свойства неприводимых многочленов

• Если - неприводимый многочлен и произведение делится на , то один из сомножителей ( или ) делится на .

• Если - неприводимый многочлен, то либо , либо делится на .

• Пусть - неприводимые многочлены и , , тогда и .

Множество многочленов из , степень которых не превосходит , обозначим через . Пусть - неприводимый над полем многочлен степени ( ). На множестве введем операцию : , где - остаток от деления на . Множество относительно операций сложения и образует поле, являющееся расширением поля . Говорят, что это поле получено присоединением к полю корня . Поле, над которым многочлен раскладывается в произведение линейных множителей, называется полем разложения многочлена. Для любого многочлена над полем существует расширение поля , являющееся полем разложения .

Упражнения

9.1. Доказать свойство:

1. если произведение многочленов делится на многочлен и , то делится на ;

2. если произведение многочленов делится на неприводимый многочлен, то один из сомножителей делится на него;

3. если многочлен степени неприводим над полем , то он взаимно простой с любым многочленом степени меньше ;

4. многочлен второй степени неприводим над полем тогда и только тогда, когда у него нет корней в поле ;

5. многочлен третьей степени неприводим над полем тогда и только тогда, когда у него нет корней в поле ;

6. многочлен степени неприводим над полем тогда и только тогда, когда он взаимно простой с любым многочленом над полем степени не выше ;

7. если многочлен - неприводимый над полем , то многочлен - то же неприводимый над полем .

9.2. Является ли многочлен неприводимым над полем , , :

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

9.3. Является ли многочлен неприводимым над полем вычетов по модулю 2:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

9.4. Является ли многочлен неприводимым над полем вычетов по модулю 3:

1) ;

2) ;

3) .

9.5. Выписать все неприводимые многочлены степени в поле вычетов :

1) , ;	2) , ;	3) , ;
4) , ;	5) , ;	6) , .

9.6. Разложить многочлен в произведение неприводимых многочленов над .

1) ;

2) ;

3) .

9.7. Разложить многочлен в произведение неприводимых многочленов над .

1) ;

2) ;

3) .

9.8. Разложить в произведение неприводимых многочленов над C:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

9.9. Присоединить к полю корень многочлена . В полученном поле разложить этот многочлен на линейные множители.

9.10. Присоединить к полю рациональных чисел корень многочлена . В полученном поле разложить этот многочлен на линейные множители.

9.11. Расширить поле рациональных чисел до поля разложения многочлена .