Упражнения

7.1. Доказать свойства:

1. наибольший общий делитель многочленов равен их общему делителю наибольшей степени;

2. наименьшее общее кратное многочленов равно их общему кратному наименьшей степени;

3. для любого ;

4. тогда и только тогда, когда ;

5. , где - произведение коэффициентов при старших степенях многочленов и ;

6. если , то ;

7. пусть - конечное множество чисел. Многочлен взаимно простой с тогда и только тогда, когда для всех ;

8. если , то ;

9. если и , то ;

10. если , то и ;

11. .

7.2. Найти наибольший общий делитель многочленов алгоритмом Евклида (если поле не указано, то подразумевается поле рациональных чисел):

1. и ;

2. и ;

3. и ;

4. и ;

5. и ;

6. и ;

7. и над ;

8. и над .

7.3. Найти наибольший общий делитель многочленов над полем рациональных чисел:

1. и ;

2. и ;

3. и ;

4. и .

7.4. Найти наименьшее общее кратное многочленов над полем рациональных чисел:

1. и ;

2. и ;

3. и .

7.5*. Для многочленов с рациональными коэффициентами и найти наибольший общий делитель и коэффициенты Безу расширенным алгоритмом Евклида.

7.6. Расширенным алгоритмом Евклида найти наибольший общий делитель многочленов и коэффициенты Безу:

1. и ;

2. и ;

3. и ;

4. и ;

5. и ;

6. и ;

7. и над ;

8. и над .

7.7*. Методом неопределенных коэффициентов найти коэффициенты Безу для взаимно простых многочленов и .

7.8*. Найти многочлены и минимальной степени, удовлетворяющие равенству .

7.9. Найти коэффициенты Безу методом неопределенных коэффициентов:

1. и ;

2. и ;

3. и

4. и над ;

5. и над .

7.10*. Освободиться от иррациональности в знаменателе .

7.11. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) ;	2) ;
3) , если ;	4) ;
5) ;	6) .

7.12*. Пусть . Доказать, что найдутся такие многочлены и , для которых .

7.13. Представить в виде суммы дробей:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

8. Интерполяционный многочлен

Задача построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках, называемыми узлами интерполяции, принимает заданные значения, называется задачей интерполяции. Решение задачи интерполяции называют интерполяционным многочленом.

Пусть ( ) – узлы интерполяции, а - значения. Положим , где . Очевидно, что , при , и . Многочлен называют интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.

Разностью первого порядка многочлена в узлах назовем . Индуктивно определим разность порядка многочлена в узлах через разности порядка по формуле: . Разность порядка выражается через значения многочлена в узлах , и, следовательно, разность не зависит от порядка расположения ее аргументов.

Если степень многочлена равна , то разность порядка есть многочлен степени при . Если , то разность порядка равна нулю. Из определения разности порядка выводим равенство, позволяющее выразить многочлен через соответствующие разности . При решении задачи интерполяции , и, значит, получаем представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона .