Упражнения

6.1. Перемножить многочлены над указанным кольцом:

1) над ;	2) над ;
3) над ;	4) над ;
5) над ;	6) над ;
7) над ;	8) над ;
9) над ;	10) над ;
11) над ;	12) над .

6.2. Найти степень многочлена и коэффициент при его старшей степени над указанным кольцом:

1) над ;	2) над ;
3) над ;	4) над .

6.3. Найти частное и остаток от деления на над указанным кольцом:

1. , над ;

2. , над ;

3. , над ;

4. , над ;

5. , над ;

6. , над ;

7. , над ;

8. , над .

6.4. Поделить с помощью схемы Горнера полином на двучлен над указанным кольцом:

1. , над ;

2. , над ;

3. , над ;

4. , над ;

5. , над ;

6. , над ;

7. , над ;

8. , над ;

9. , над .

6.5*. С помощью схемы Горнера разложить полином по степеням над полем рациональных чисел.

6.6. Разложить полином по степеням двучлена над указанным кольцом (по схеме Горнера):

1. , над ;

2. , над ;

3. , над ;

4. , над ;

5. , над ;

6. , над ;

7. , над ;

8. , над .

6.7*. С помощью схемы Горнера найти коэффициенты многочлена: .

6.8. Найти коэффициенты многочлена над указанным кольцом (по схеме Горнера):

1. над ;

2. над ;

3. над ;

4. над ;

5. над ;

6. над ;

7. над .

6.9. Найти остаток от деления многочлена на над указанным кольцом:

1) над ;	2) над ;
3) над ;	4) над ;
5) над ;	6) над .

6.10*. Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

6.11*. Найти остаток от деления многочлена на трехчлен .

6.12*. При каких вещественных значениях и многочлен делится на трехчлен .

6.13. При каких условиях делится на над кольцом целых чисел:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

6.14. Найти сумму коэффициентов многочлена

1) ;

2) .

7. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Многочлен, который делится на многочлены и называется их общим кратным. Многочлен, который делит и , называется их общим делителем. В кольце многочленов над полем определены понятия: наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Общее кратное многочленов и , являющееся делителем любого общего кратного многочленов и называется наименьшим общим кратным и обозначается . Общий делитель многочленов и , который делится на любой общий делитель многочленов и называется наибольшим общим делителем и обозначается .

Наибольший общий делитель многочленов и их наименьшее общее кратное определено с точностью до ненулевого множителя (из поля ). Если положить коэффициенты при старших степенях наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного равными 1, то справедливо равенство , где - произведение коэффициентов при старших степенях многочленов и .

Если наибольший общий делитель многочленов - многочлен нулевой степени (т.е. равен 1), то многочлены называются взаимно простыми.

Наибольший общий делитель можно найти алгоритмом Евклида, который основан на равенстве , справедливом для любого многочлена . Положив равным частному от деления на , задачу построения наибольшего общего делителя сводим к аналогичной задаче для многочленов меньших степеней. Алгоритм закончит работу, когда один из многочленов станет равным 0.

Для многочленов и найдутся многочлены и , называемые коэффициентами Безу, что степень меньше степени , а степень меньше степени и . Для поиска коэффициентов Безу используется расширенный алгоритм Евклида (см. задачу 7.5).