6. Кольцо многочленов

Пусть - элементы кольца ( ), - переменная. Конечная сумма вида называется многочленом (полиномом) степени над кольцом . Множество всех многочленов над кольцом обозначим через . Любой ненулевой элемент кольца является многочленом нулевой степени (0 - единственный многочлен, степень которого не определена). Многочлены называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях.

На множестве многочленов введем операции сложения и умножения. Пусть и .Операция сложения определяется формулой (коэффициенты многочленов, с номером больше степени многочлена, равны 0). Операция умножения полиномов определяется формулой . Обозначим через произведение многочленов . После приведения подобных получим . Таким образом, найдены формулы для вычисления коэффициентов произведения , где . Множество многочленов относительно операций сложения и умножения многочленов образует кольцо, получившее название кольцо многочленов.

Пусть , где - коммутативное кольцо. Под задачей деления многочлена на многочлен над кольцом будем понимать задачу построения такого многочлена , что степень многочлена - наименьшая. Если задача деления имеет единственное решение, то многочлен называется частным от деления, а многочлен называется остатком от деления. Если остаток от деления равен 0, то полином делится на полином .

Достаточным условием возможности деления многочлена на многочлен над кольцом является обратимость в кольце ( - коэффициент при старшей степени ). Пусть степень , равна . Из требования минимальности степени остатка и правила умножения многочленов выводим, что степень частного равна и . Далее, задача деления многочлена на многочлен сводится к аналогичной задаче деления многочлена на , причем степень строго меньше степени . Если , то частное равно нулю, а остаток совпадает с делимым многочленом. Таким образом, частное и остаток от деления определяются однозначно. Алгоритм деления оформляют «уголком» и внешне он похож на аналогичный алгоритм д

Рис. 3. Деление «уголком»

еления с остатком для целых чисел. Пример деления «уголком» многочлена на многочлен приведен на рис. 3.

Любой ненулевой элемент поля является обратимым, поэтому над полем определена операция деления с остатком любого многочлена на произвольный ненулевой многочлен.

Рис.4 Деление по схеме Горнера

Рис. 4. Деление на двучлен по схеме Горнера

Пусть - коммутативное кольцо с 1. При делении на двучлен можно воспользоваться более компактной схемой деления, называемой схемой Горнера. В основе этой схемы лежит очевидный факт, что при выполнении деления «уголком» на каждом шаге меняется только один коэффициент в текущем «остатке». Поэтому, схему деления «уголком» можно записать в одну строчку. Пример деления на двучлен по схеме Горнера приведен на рис. 4.

Определим операцию подстановки в многочлен . При выполнении данной операции, вместо переменной подставим , и в результате выполнения алгебраических операций получим элемент кольца, который называется значением многочлена и обозначается . Если значение многочлена равно 0, то называется корнем многочлена. Над коммутативным кольцом с единицей справедлива теорема Безу:

Остаток от деления многочлена на двучлен равен .