Методические рекомендации по выполнению заданий.
Пример 1. В результате эксперимента получена выборка для дискретного признака X объёма n = 50:
-
15
16
15
15
18
15
14
19
18
16
19
12
14
18
15
14
16
13
12
17
15
18
15
15
17
14
16
16
17
14
20
15
17
20
17
13
13
14
16
14
19
17
16
16
15
15
18
15
14
17
Требуется: 1) составить вариационный ряд; 2) составить таблицу относительных частот; 3) построить полигон.
Решение: 1) выбираем различные варианты
из выборки и записываем в возрастающем
порядке (
)
13 14 15 16 17 18 19 20;
2) для каждой варианты определяем частоты ni и вычисляем относительные частоты. Результаты записываем в таблицу:
-
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ni
2
3
8
12
8
7
5
3
2
(
);
3
)
полигон: по горизонтальной прямой
откладываем значения вариант, а по
вертикальной – значения относительных
частот. Полигон не является графиком в
смысле функциональной зависимости, а
лишь графическое изображение таблицы
относительных частот. Поэтому наименьшее
значение варианты y наносим в точке
пересечения осей.
Рис. 1. Полигон
Замечание. В теории вероятностей дискретная случайная величина Х задаётся законом распределения, записанным в виде таблицы:
Таблица 2
хi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
где хi –
значения, принимаемые дискретной
случайной величиной, pi
– соответствующие им вероятности,
причём
Этот закон геометрически изображается в виде ломаной линии на плоскости, соединяющей точки (хi; pi) и называемой многоугольником распределения.
В основе понятия вероятности лежит статистический подход – частота событий.
Частотой события А называется число
,
где n(A) – число
появления события А в произведённых n
независимых опытах. Эмпирически
установлено, что для большого числа
опытов частота обладает свойствами
устойчивости, т.е. начинает колебаться
около некоторого постоянного Р(А)
и амплитуда этих колебаний уменьшается
с увеличением n, т.е.
.
Таким образом, при достаточно большом объёме выборки, относительная частота в таблице начинает стремиться к Рi, т.е. эмпирический закон распределения дискретного признака будет приближаться к истинному (теоретическому) закону распределения (табл. 2), и, соответственно, полигон приближенно будет принимать форму многоугольника.
Непрерывный вариационный ряд: в
этом случае для изучения непрерывного
признака X по выборке
составляют интервальный вариационный
ряд. Для этого весь диапазон изменения
признака X разбивают
на k частичных интервалов
равной длины и вычисляют относительную
частоту попадания варианты
в i- интервал:
где ni –
число членов выборки, попавших в
i-интервал [
].
Таблица 3
[ ] |
[c1;c2) |
[c2;c3) |
… |
[cn;cn+1] |
|
|
|
… |
|
где
=1,
называется интервальной таблицей
относительных частот.
Замечание. Если при построении
интервалов какая-либо из вариантов
попадает точно на границу соседних
интервалов, то её относят к следующему
(правому) интервалу. Для последующей
обработки сгруппированных данных по
формулам за значение интервала принимаем
его середину (обозначим
),
т.е. центральное значение.
Интервальная таблица относительных
частот изображается в виде гистограммы
относительных частот – ступенчатой
фигурой, состоящей из прямоугольников,
основаниями которых служат частичные
интервалы длиной, равной
,
а площадь каждого i-го интервала Si
равна соответствующей частоте
,
т.е. Si=
.
Тогда высота i-го прямоугольника Нi
равна:
(i=1,2,…n).
При построении интервальных таблиц
актуальными становятся вопросы о выборе
числа интервалов и их длине. Они решаются
конкретно для каждой задачи, исходя из
целей исследования, объёма выборки и
степени варьирования признака в выборке.
Но приближенное число интервалов k
и соответственно длину интервалов
можно оценить исходя только из объёма
n выборки. Делается
это по формуле Стерджеса:
k=1+3,32lg n
или с использованием готовой таблицы.
Таблица 4
-
Объем выборки (n)
Число интервалов (k)
25-40
5-6
40-60
6-8
60-100
7-10
100-200
8-12
Более 200
10-15
Длина частичных интервалов определяется по формуле
.