6. Деформации при изгибе Основные теоретические сведения

Под действием внешней нагрузки продольная ось балки искривляется. Прогибом (у) называется перемещение центра тяжести сечения балки в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения балки. Для балок, у которых изогнутая ось представляет собой достаточно пологую кривую, можно считать, что угол поворота сечения равен первой производной от прогиба, т. е. . Угол поворота определяется как угол между нормалями, проведенными в заданном сечении до и после деформации (рис. 6.1)/

Рис. 6.1

Для определения прогиба и угла поворота сечения балки использу-ются графические, аналитические и графоаналитические способы. К аналитическим способам определения перемещений при изгибе относится метод начальных параметров. При применении этого метода составляются универсальные уравнения прогибов и углов поворотов сечений балки:

– универсальное уравнение прогибов

; (6.1)

– универсальное уравнение углов поворотов

. (6.2)

В уравнениях (6.1) и (6.2) приняты следующие обозначения:

у, у' – соответственно прогиб и угол поворота в произвольном (рассматриваемом) сечении балки;

у₍₀₎, у'₍₀₎ – начальные параметры: прогиб и угол поворота в точке сечения балки, где располагается начало системы координат;

EI_х – жесткость при изгибе;

а_i, b_i, c_i – расстояния от начала координат до сечений, где приложены внешние нагрузки:

а_i – до сосредоточенного момента,

b_i – до сосредоточенной силы,

c_i – до начала распределенной нагрузки.

Уравнения (6.1) и (6.2) позволяют вычислять прогибы и углы поворотов сечений для балок с различными условиями закрепления и видами внешних нагрузок. При этом учитываются значения начальных параметров (рис. 6.2).

у_А = 0; у_А = 0; у_А 0;

у'_А = 0 у'_А0 у'_А0

Рис. 6.2

Универсальные уравнения предполагают, что начало координат должно располагаться на одном из концов балки. При этом применяется правило знаков для уравнений изгибающих моментов, прогибов и углов поворотов (рис. 6.3).

Начало координат на левом конце балки

Начало координат на правом конце балки

Рис. 6.3

Уравнения (6.1) и (6.2) составлены при условии, что нагрузка q приложена по всей длине балки. Если распределенная нагрузка q не доходит до конца балки, ее необходимо продлить и приложить компенсирующую нагрузку противоположного знака.

Задание 6.

Для балки, рассмотренной в задании 5, вычислить прогиб и угол поворота для указанных сечений.

Пример расчета

Для нахождения прогиба в точке К составим универсальное уравнение прогибов. Начало координат выберем на левом конце балки (рис. 6.4). Распределенную нагрузку продлим до конца балки (пунктирная линия) и приложим компенсирующую нагрузку (основная линия) (рис. 6.4).