6.4. Парная линейная корреляция

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками - парная линейная корреляция. Подобные системы встречаются в тех случаях, когда среди всех действующих факторов выделяется один важнейший, который и определяет вариацию результативного признака, а нелинейные формы связей без особого ущерба могут быть преобразованы в линейные.

Зависимость , называется уравнением регрессии y по x или линейной корреляционной зависимостью между y и x.

где – среднее значение результативного признака Y при определенном значении факторного признака X;

b – свободный член уравнения;

а – коэффициент регрессии, характеризующий вариацию Y, приходящуюся на единицу вариации X.

Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по методу наименьших квадратов.

Параметр a определяется из соотношения

,

где – среднее значение случайной величины xy;

и – средние значения факторного и результативного признаков соответственно;

_x – среднее квадратичное отклонение признака X;

x_i и y_i - индивидуальные значения соответствующих признаков.

Параметр b выражают из уравнения регрессии и вычисляют, подставляя средние значения признаков X и Y и найденное значение параметра а:

.

При парной связи ее теснота измеряется с помощью коэффициента корреляции:

Соотношение между значением модуля коэффициента корреляции и теснотой связи представлено в таблице 10.

Таблица 10

Значение модуля коэффициента корреляции	Характер связи
0,00 – 0,30	крайне слабая или отсутствует
0,30 – 0,50	слабая
0,50 – 0,70	средняя
0,70 – 0,99	сильная

Рассматривая возможные значения коэффициента корреляции, следует учитывать, что нулевая величина этого коэффициента соответствует полному отсутствию какой-либо связи. Это возможно при полном взаимном погашении положительных и отрицательных отклонений признаков от их средних величин. Поскольку вероятность этого крайне мала для любой реальной совокупности, кроме бесконечно большой, то коэффициент корреляции для реальной совокупности отличен от нуля и при отсутствии связи!

Значение коэффициента корреляции, равное 1 (или -1) соответствует функциональной связи. Чем ближе связь к функциональной, тем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице. Отрицательное значение коэффициента корреляции свидетельствует об обратной зависимости.

Значение коэффициента корреляции можно посчитать с помощью функции КОРРЕЛ, встроенной в табличном процессоре MS Excel, это облегчит рутинные математические подсчеты. Так же в MS Excel можно построить на графике и эмпирическую ломаную, и уравнение регрессии.

Пример 7. Определение корреляции между числом преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков, в Новосибирской и Омской областях (данные взяты с официального сайта Федеральной службы государственной статистики РФ www.gks.ru и приведены в таблице 11 (в ед., значение показателя за год)).

Таблица 11.

Можно изобразить графически динамические ряды данного вида преступлений в Новосибирской и Омской области (см. рис. 9).

Рис. 9. Динамика преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков в Новосибирской и Омской областях

Проанализировав график, можно предположить, что эти данные будут коррелировать между собой. Рассчитав коэффициент корреляции, получаем, что , это означает, что корреляционная связь между признаками прямая и сильная. Изобразим графически эмпирические данные и построим прямую регрессии. Табличный процессор MS Excel позволяет нам автоматически строить прямую регрессии и указывать ее уравнение на диаграмме.

Рис. 10. Корреляционная зависимость числа преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков Новосибирской и Омской областях

1 См.: Лялин В. С. Правовая статистика : учебник / В. С. Лялин, Е. А. Костыря ; Санкт-Петербург. ин-т внешнеэконом. связей, экономики и права, О-во "Знание" Санкт-Петербурга и Ленинград. обл. - СПб. 2006. С. 9.

2 См.: Лунеев В. В. Юридическая статистика : учебник / В. В. Лунеев ; Акад. правовой ун-т, Ин-т государства и права Рос. акад. наук. - М. : Юристъ, 2000. С. 23.

3 http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/population/infraction/.

4 См.: Лунеев В. В. Юридическая статистика : учебник / В. В. Лунеев ; Акад. правовой ун-т, Ин-т государства и права Рос. акад. наук. - М. : Юристъ, 2000. С. 307.

5 См.: Лунеев В. В. Юридическая статистика : учебник / В. В. Лунеев ; Акад. правовой ун-т, Ин-т государства и права Рос. акад. наук. - М. : Юристъ, 2000. С. 287.

6 Чупров Александр Александрович - русский статистик (1874-1926).

7 Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. -М.:Финансы и статистика, 1998.

8 Крастинь О.П. Разработка и интерпретация моделей корреляционных связей в экономике. — Рига: Зинатне, 1983.

9 Стюдент (student) – псевдоним английского математика и статистика Вильяма Госсета (1876 - 1937).

10 Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, физик и астроном (1777-1855).