2. Функціонування мереж Петрі

Функціонування МП може бути подана як сукупність локальних дій – спрацьовувань переходів. У результаті послідовного спрацьовування переходів змінюється маркування мережі.

Перехід t_j може спрацювати якщо він є дозволяючим, тобто число маркерів у будь-яких його вхідній позиції не менше кратності (числа) дуг від цієї позиції до переходу t_j. Іншими словам, перехід t_j Т є дозволяючим, якщо виконується умова m_i – I(p_i,t_j) 0 для .

У результаті спрацьовування переходу t_j з кожної вхідної позиції p_i вилучається I (p_i, t_j) маркерів й в кожну його вихідну позицію додається 0(t_j ) маркерів.

У результаті спрацьовування, переходу t_j маркування М(Р) переходить у маркування , для якого m_i – I (p_i,t_j) + О(t_j,p_i) для усіх .

Виконання МП з вихідним маркуванням М₀ міститься у послідовному спрацьовуванні дозволяючих переходів. При цьому деяке маркування безпосередньо досяжне з маркування М, якщо можна отримати з М при спрацьовуванні дозволяючого переходу t_j (позначається ). Маркування досяжне з М, якщо воно безпосередньо досяжне з М, або досяжне з будь-якого іншого маркування, яке безпосередньо досяжне з М.

Маркування досяжне з маркуванням М, якщо існує послідовність спрацьовування переходів σ = (t_j1, t_j2,…, t_jn}, що переводить М у :

.

Множина усіх маркувань, які досяжні з М₀, називається множиною досяжності й позначається R(M₀).

Якщо у деяку мить часу дозволено більше одного переходу, то їх спрацьовування здійснюється послідовно у довільному порядку. Якщо спрацьовування одного з дозволяючи у дану мить переходів виключає можливість спрацьовування іншого, то такі переходи називаються конфліктуючими.

Приклад маркування МП для ілюстрації правил спрацьовування переходів наведений на рис. 11.1

Рис. 11.1 Мережі Петрі.

а) вихідне маркування; б) маркування після спрацьовування переходу t₄,;

в) маркуванняч після спрацьовування переходів t₄ і t₁

Множина Р містить n=5 елементів, початкове маркування (рис.11.1,а). Множина Т має m=4елементи.

Вхідна матриця інцидентності

Вихідна матриця інцидентності

У матриці І(Р,Т) стрічки відповідають позиціям, а стовбці – переходам; у матриці О(Т,Р) стрічки – переходам, а стовбці – позиціям. У позначеннях елементів матриць І, О перший індекс завжди позначає номер стрічки, другий – номер стовбця. Наприклад, І₃₂=І(Р₃, Т₂) або О₃₄=О(t_3, Р₄). У МП (рис. 1,а) переходи t₁ t₃ t₄ є дозволяючими, бо для

Перехід t₂ не може спрацювати, бо й . Нехай спрацьовує перехід t₄. У результаті з маркування М₀ отримується маркування М₁, тобто . У відповідності з правилами спрацьовування переходів маємо:

Число маркeрів у позиціях р₁ , р₂ й р₄ не змінюється, бо ці позиції не пов’язані з переходом t₄ . Маркування М₁ подане на рис. 1,б. Тут переходи t₁, t₃ є дозволяючи ми, бо для

Нехай спрацьовує перехід t₁, тобто , де - маркування яке отримане при спрацьовуванні t₁. Маркування отримане у відповідності до правил спрацьовування переходів:

для

Число маркерів у позиції р₅ не змінюється, бо . Маркування подане на рис. 11.1,в. Тут переходи t₂ i t₃ є дозволяючими, бо для