11. Мережі Петрі

Моделі типу мереж Петрі (МП) призначені для дослідження динамічних систем багатьох типів, особливо таких, де має місце взаємодіючі паралельні процеси і виникають конфлікти через ресурси.

Мережі Петрі розроблені у 60-ті роки ХХ сторіччя німецьким математиком В.А. Петрі. У наступні роки апарат МП інтенсивно розвивався зусиллям багатьох зарубіжних та вітчизняних вчених

1. Графове зображення мереж Петрі

Мережі Петрі подаються за допомогою графа G (V,A), де V – множина вершин графа, А – множина направлених дуг.

Множина вершин графа V утворюється двома підмножинами, які називаються позиціями (place) – Р й переходами (transition) – Т.Позиції та переходи є основними поняттями МП. Позиції зіставляються дискретним станом об’єктів, що досліджуються (умовами), а переходи – процесам (подіям, операціям, діям), у результаті яких об’єкт переходить з одного стану у інший.

Дуги графа А є направленими і з’єднують вершини різного типу. Граф, множина вершин V якого допускає розбивання на дві підмножини Р і Т так, що жодна з дуг графа не з’єднує вершини однієї й тієї ж підмножини, називається двочастковим. Тому G (V,A) – двочастковий орієнтований граф. У МП дуги можуть бути кратними, тобто між вершиною р_і Р й t_j Т можуть мати місце одна, дві, три й т.д. дуги. Граф, який допускає кратні дуги, називається мультиграфом. Тому G (V,A) є мультиграфом.

Таким чином граф G (V,A), який зображує мережу Петрі, є орієнтовним двочастковим мультиграфом .

Структура МП задається набором N (P, T, I, O), де P – скінчена множина, Т–непуста скінчена множина переходів, позицій, І– вхідна матриця інцидентності, О – вихідна матриця інцидентності. Елементи матриці І вказують на можливість переходу від елементів множини Р до елементів Т. Так, якщо I(p_i, t_j) = 0, то між вершинами p_i та t_j зв’язу нема (нема дуг, які з’єднують ці вершини); якщо I(p_i, t_j) = 1, то між вершинами p_i та t_j є одна дуга, якщо I (p_i, t_j) = К, то існують K дуг (або дуга кратності К).

Аналогічно вищевикладеному, елементи матриці ) вказують на можливість переходу (тобто дорівнюють кратності відповідних дуг) від вершин Т до вершини Р.

При графічному зображенні МП для позначення позиції використовують кружки (○), а для позначення переходів – планки (׀).

Якщо дуга направлена від позиції p_i до переходу t_j (○ ׀ )то позиція p_i є входом переходу. Кратні входи позначаються кратнимии дугами із вхідних позицій у перехід.

Якщо дуга направлена від переходу t_j до позиції p_i (׀ →○), то позиція p_i є виходом переходу t_j.

Точка, яка поміщується у кружок, що відображує позицію, вказує на наявність маркера у даній позиції. Число точок визначає число маркерів.

Розміщення маркерів по позиціях мережі називається маркуванням МП. Кількість і положення маркерів у МП може змінюватися.

Переміщення маркерів по мережі відтворює переходи об’єктів, що досліджуються, із стану у стан. При задаванні мережі завжди вказується її виходне маркування. Зміна маркування здійснюється у результаті виконання (спрацьовування) переходів.

Перехід спрацьовує, якщо у всіх його вхідних позиціях (тобто у позиціях, з яких виходять дуги, що ведуть до переходу) є маркери, й число не менше за кратність дуги, яка зв’язує позицію із переходом. При спрацьовуванні переходу, з кожної його вхідної позиції видаляється число маркерів, яке дорівнює числу дуг між позицією й переходом, а у кожну вихідну позицію ( у яку дуга веде з переходу) вноситься число маркерів, що дорівнює кратності дуги.

Маркировка МП задається функцією М, яка відображує множину позицій у множину позитивних цілих чисел. Якщо позицію МП пронумерувати, то маркування мережі зручно подати у вигляді n мірного вектора М(Р) = {m₁, m₂,…,m_n}, значення координат якого m₁,…,m_n дорівнює числу маркерів у відповідних позиціях.