10.4 Сітьове планування за умов ризику щодо тривалостей операцій

У практичному застосуванні сітьового планування виконання проекту часом трапляються ситуації, коли одна або декілька робіт можуть бути не детермінованими. Тобто тривалість t_ij роботи є випадковою величиною з проміжку , яка має - розподіл з параметрами та .

Функція щільності імовірностей , розподіленої на відрізку a_ij,b_ij випадкової величини визначається у вигляді:

f(t) = B (t – a_ij)^a(b_ij – t)^y, a_ij ≤ t ≤ b_ij,

де В, α, γ > 0; В визначається через параметри розподілу α та γ за формулою:

Графік цієї функції наведено на рис. 10.21

Рис. 10.21

Статистичні характеристики β - розподіленої випадкової ве­личини обчислюються за формулами:

- очікуване значення:

- стандартне відхилення:

де m_ij – модальне (найімовірніше) значення цієї випадкової величини.

У методі PERT параметри α і γ приймають значення:

α = 2 ± , γ = 2 .

Таким чином, для знаходження статистичних характеристик випадкової величини t_ij тривалості роботи і j потрібно визна­чити (як правило, експертним методом) лише три її оцінки:

• оптимістичну (найменше значення) — а_ij,

• песимістичну (найбільше значення) — b_ij,

• модальну (найімовірніше значення) — m_ij

На основі наведених оцінок статистичні характеристики випа­дкової тривалості t_ij роботи і j обчислюються за формулами:

• очікуване значення:

- стандартне відхилення:

Якщо тривалості робіт не детерміновані, тривалість Т виконання проекту теж буде не детермінованою, тобто її слід розглядати як випадкову величину. Статистичні характеристики ці є випадкової величини обчислюються за результатами дослідження сітьового графіка. Якщо у сітьовому графіку за тривалості ви конання робіт обрати їх очікувані значення, очікувана тривалість: Т виконання проекту збігатиметься з довжиною відповідною критичного шляху.

Дисперсію ²(т) випадкової величини тривалості виконання; проекту Т обчислюють у припущенні про статистичну незалежність випадкових термінів виконання окремих робіт. Ця дисперсія є сумою дисперсій тривалостей тих робіт, які утворюють критичний шлях у сітьовому графіку з очікуваними тривалостями виконання робіт:

Примітка. Якщо критичних шляхів декілька, лід обрати шлях із найбільшою дисперсією довжини.

Оскільки на тривалість Т виконання проекту впливає велика кількість різних чинників, вводиться припущення, що Т є норма­льно розподіленою випадковою величиною. Це припущення до­зволяє, зокрема, оцінювати імовірності подій завершення проекту до певної календарної дати або у певний проміжок часу. При оці­нюванні подібних імовірностей корисно пам'ятати про правила сігм, які притаманні нормальному розподілу:

• правило однієї сигми:

Приклад 6.6. Розглянемо проект, який складається з восьми робіт. Структурна схема проекту та оцінки тривалостей виконан­ня його робіт наведено у табл. 10.6.

Потрібно визначити:

• очікувану тривалість виконання проекту;

• імовірність події, що фактична тривалість не перевищуватиме очікувану більше ніж на 2 тижні.

Табл. 10.6

Розв'язування. Побудуємо сітьову модель проекту (рис. 10.22) та обчислимо за формулами (10.17), (10.18) статистичні характери­стики (очікувані значення і стандартні відхилення) випадко­вих величин — тривалостей виконання кожної із робіт (див. табл. 10.7).

Рис. 10.22

Табл. 10.7

Побудуємо сітьовий графік проекту, обравши очікуванні тривалості виконання робіт; обчислимо часові характеристики усіх його подій (вершин) і позначимо критичний шлях (рис.10.23).

Рис. 10.23

Критичний шлях проекту утворюють дуги 1→ 4, 4→ 6 та 6 → 7 . Тому очікувана тривалість виконання проекту дорівнює:

Обчислимо дисперсію σ²(Т) випадкової величини Т-тривалості виконання проекту:

σ²(Т) = 0,83² + 1,83² + 1,83² = 7,4467.