10.3 Сітьове планування з урахуванням вартості виконання робіт

Тривалість виконання окремих робіт може бути скорочена за рахунок залучення додаткових фінансових ресурсів. У таких ви­падках залежність вартості виконання проекту від терміну його виконання є спадною: більшій тривалості виконання проекту від­повідають менші витрати, і навпаки — меншій тривалості вико­нання проекту відповідають більші витрати.

Але при затримці із закінченням проекту можуть мати місце додаткові збитки, пов'язані із штрафами за порушення умов кон­тракту на виконання проекту. Тобто залежність втрат, пов'язаних із запізненням завершення проекту, є зростаючою від тривалості строку виконання проекту.

Постає проблема визначення такої стратегії виконання проек­ту, при якій загальні витрати, що пов'язані із виконанням проекту і з втратами внаслідок затримки із його завершенням, будуть мі­німальними (рис. 10.14).

Рис. 10.14

Опрацюємо спочатку питання про оптимізацію сітьового гра­фіка за показником вартості виконання проекту для випадку, ко­ли задано директивний термін завершення всього комплексу ро­біт T_d.

Нехай {1, 2,..., п) — множина вершин сітьового графіка, U — множина його дуг. Припустимо, що тривалість t_lt роботи (i,j є и) може змінюватись у певних межах часу, де Djj — тривалість виконання цієї роботи, скажімо, у від d_tj до D_tj одиниць нормативно­му режимі, a dy — тривалість її виконання у максимально при­скореному режимі.

Нехай c_tj — вартість виконання роботи (i,j) у нормальному режимі, а С_ij + ΔC_ij — витрати на її виконання у максимально прискореному режимі. Припустимо, що залежність вартості z_ij від тривалості виконання t_ij є лінійною:

(10.11)

Що ілюструє рисунок 10.15

Рис. 10.15

Тоді задача оптимізації сітьового графіка за показником мінімізації загальної вартості z виконання проекту, з урахуванням вимоги завершення проекту у заданий директивний термін T_d, набирає вигляду:

Знайти t_ij,z_ij, T_i, T_j, i,j = , що належать області G , ви­значеної умовами:

(10.12)

(10.13)

(10.14)

і мінімізірують функцію цілі:

Задача (10.12)—(10.15) є задачею лінійного програмування з двосторонніми обмеженнями на t_tj. Якщо її розв'язок існує, тоб­то коли є можливість виконати проект за директивний термін T_d, результатом розв'язування задачі будуть такі тривалості вико­нання кожної з робіт t_ij*, (і,j) є U, за яких вартість виконання z* всього проекту буде найменшою.

У загальному випадку задачу оптимізації сітьового графіка з урахуванням часу та вартості можна розглядати як двоцільову

, (10.16)

в якій перша цільова функція орієнтує на най скоріше вико­нання проекту (терміну настання кінцевої події), а друга— на мінімізацію витрат, пов'язаних із виконанням проекту. Обме­ження (10.12)—(10.14) визначають множину допустимих планів.

Таким чином, задачу (10.12)—(10.15) слід розглядати лише як спрощений підхід до розв'язання цільової проблеми оптимізації сітьового графіка. Наступним кроком здійснення цільової опти­мізації буде дослідження задачі (10.12)—(10.15) як параметричної відносно директивного терміну виконання проекту T_d . Це дозво­лить визначити залежність оптимальної вартості z* від T_d (рис. 10.16), що є корисним для узгодження термінів виконання проекту та необхідних для цього витрат.

Рис. 10.16

Приклад 10.4 Розглянемо проект, сітьова модель якого наведена на рис.10.17, а показники тривалості та вартості кожного із робіт надані у табл. 10.5.

Табл. 10.5

Необхідно визначити тривалість та вартість виконання проек­ту за умов:

• тривалість кожної із робіт буде максимальною;

• тривалість кожної роботи буде мінімальною.

Побудувати графік залежності оптимальної вартості виконан­ня проекту від директивної тривалості його виконання T_d .

Розв'язування. 1. Побудуємо сітьовий графік проекту, обра­вши за тривалості робіт максимально можливі терміни їх вико­нання. Обчислимо також часові характеристики L, Е усіх подій та повні резерви часу М усіх робіт подій проекту (рис. 10.18).

Рис. 10.18

Таким чином, максимальна тривалість виконання проекту Т^max = 9 (місяців). Оскільки кожна з робіт виконуватиметься з мінімальною вартістю, робимо висновок, що оптимальна вартість проекту при T_d > 9 дорівнюватиме 6 + 12 + 5 = 23 (тис. грн).

2. Проаналізуємо тепер проект за умов, коли тривалість вико­нання кожної з робіт буде мінімальною (рис. 10.19).

Рис.10.19

Мінімальна тривалість виконання проекту = 6 місців. Проте оптимальна вартість виконання проекту за 6 місяців не дорівнюва­тиме сумі максимальних вартостей виконання кожної із робіт 10 + + 15 + 8 = 33 (тис. грн). Це пояснюється тим, що робота (1, 3) не є критичною та має резерв часу М{1, 3) = 1 міс. Отже, якщо цю ро­боту виконати не за 5, а за 6 міс, тривалість виконання проекту не збільшиться. Але зменшиться вартість виконання роботи (1, 3) оскільки z₁₃ (5 міс.) = 15 тис. грн (табл. 10,5), a z₁₃ (6 міс.) = = 12 + (15-12) = 14 (тис. грн) (формула (10.11) та вихідні дані з табл. 10.11, тобто оптимальна вартість виконання проекту за 6 міс. дорівнюватиме 10 + 14 + + 8 = 32 (тис. грн).

3. Щоб побудувати графік залежності оптимальної вартості виконання проекту z^* від директивної тривалості його виконання T_d(6<T_d <9), складемо задачу параметричного лінійного програ­мування, обравши за параметр T_d:

Знайти t₁₂, t₁₃,t₂₃,T₁ Т₂,Т₃, що належать області G , визначеної умовами:

3 ≤ t₁₂ ≤ 5, 5≤ t₁₃ ≤ 8, 3 ≤ t₂₃ ≤ 4

T₁ + t₁₂ ≤ T₂, T₁ + t₁₃ ≤ T₃, T₂ + t₂₃ ≤ T₃ ; T₁ ≥ 0, T₃ ≤ T_d

і мінімізують функцію цілі:

z = z₁₂ + z₁₃ + z₂₃,

Розв'язок задачі параметричного програмування наведено на рис. 10.20. Бачимо, зокрема, що коли директивну тривалість прое­кту обрати такою, що дорівнює 8 міс. (T_d = 8), оптимальна вар­тість виконання проекту дорівнюватиме 25 тис. грн (z* = 25).

Рис. 10.20

Досі при плануванні проекту враховувалися лише витрати, що пов'язані із скороченням термінів виконання окремих робіт. Далі опрацюємо питання про те, як додатково врахувати втрати, пов'язані із затримкою з виконанням проекту.

Отже, нехай T_d — нормативний термін завершення проекту, s — втрати, що пов'язані із затримкою закінчення проекту на одиницю часу понад нормативний термін його виконання.

Час затримки із виконанням проекту t обчислюється за фор­мулою:

t = ,

де Т_n - термін настання кінцевої n-ої події сітьового графіка.

Тому додаткові витрати через затримку завершення проекту складуть величину st грошових одиниць. Щоб врахувати ці ви­трати при оптимізації сітьового графіка за показником мінімізації загальної вартості, до економіко-математичної моделі (10.12)— (10.16) слід ввести такі корективи:

1)замінити цільову функцію (10.16) на функцію:

яка враховує як витрати, що пов'язані із виконанням проекту (пе­рший доданок), так і втрати внаслідок закінчення проекту із запі­зненням понад нормативний термін T_d (другий доданок);

2) обмеження (10.14) (Т_n Т_d) замінити умовами, які відбива­ють можливість запізнення із закінченням проекту на термін t.

T_n T_d + t, t 0.

В оптимальному плані скоригованої задачі значення t змінної t задовольнятиме умову:

=max {0; }

тобто являтиме собою оптимальний термін можливої затримки із завершенням проекту понад нормативний термін T_d, якщо це технологічно необхідно та економічно виправдано.