10.2 Часові характеристики подій, тривалість виконання комплексу робіт

Часовими характеристиками подій — вершин сітьового графі­ка — є ранні та пізні терміни настання відповідних подій, пов'язаних із виконанням проекту, та резерви часу цих подій.

Ранній термін настання події - це такий момент часу, коли буде завершено усі роботи, що обумовлюють цю подію. Ранні те­рміни настання подій обчислюються рекурентно за формулами:

(10.1)

де n – загальна кількість вершин сітьового графіка;

U - множина його дуг;

(i, j) U – позначення такої дуги, яка виходить з вершин і та входить у j-ту вершину графа;

t(i, j) – тривалість виконання роботи i →j:

Е(і) – ранній термін настання і-ої події, відповідно;

Е(j) – ранній термін настання j-ої події (i, j= 1,2,…,n).

Тривалість виконання комплексу робіт Т^* дорівнює ранньому терміну настання його кінцевої події. Таким чином,

Т^* = Е(n) (10.2)

Пізній термін настання події— де момент часу, переви­щення якого при настанні цієї події призведе-до затримки з вико­нанням проекту у цілому. Пізні терміни настання подій обчис­люються рекурентно за формулами:

(10.3)

(10.4)

Події, які не допускають аніякої затримки з їх настанням, називаються ктиричними. Для кожної критичної точки її резерв часу дорівнює нулю:

R(j^*)= 0, якщо j^* - критична подія. (10.5)

Приклад 10.2 Обчислимо числові характеристики подій та тривалість виконання проекту, сітьковий графік якого було наведено на рис.10.11.

Ранні терміни настання подій розшукуються за сітьковим графіком методом обчислень у прямому порядку – від початкової до кінцевої події:

Е(1) = 0.

Е(2) = Е(1) +t(1, 2) = 0+12,

E(3) = max { E(1) + t (1,3);E(2) + t(2,3)}= max {0+20;12+0} = 20,

E(4) = max { E(1) + t (1,4);E(2) + t(2,4)}= max {0+27;12+0} = 27,

E(5) = E(3) + t (3,5) = 20+7 = 27,

E(6) = E(4) + t (4,6) = 27+14 = 41,

E(7) = max { E(5) + t (5,7);E(6) + t(6,7)}= max {27+13; 41+0} = 41,

E(8) = max { E(6) + t (6,8);E(7) + t(7,8)}= max {41 + 11; 41 + 15} = 56.

Тривалість виконання комплексу робіт співпадає з раннім терміном настання останньої – восьмої – події. Отже,

Т^* = 56

Пізні терміни настання подій розшукуються за сітьковим графіком методом обчислень у зворотному порядку від кінцевої до початкової події:

L(8) = Т^* = 56,

L(7) = L(8)- t (7,8) = 56 – 15 = 41,

L(6) = min {L(8) + t (6,8); L(7) - t(6,7)}= min {56-11; 41-0} = 41,

L(5) = L(7) – t(5,7) = 41 – 13 = 28,

L(4) = L(6) – t(4,6) = 41 – 14 = 27,

L(3) = L(5) – t(3,5) = 28 – 7 = 21,

L(2) = min {L(4) + t (2,4); L(3) - t(2,3)}= min {27-0; 21-0} = 21,

L(1) = min {L(4) + t (1,4); L(3) - t(1,3); L(2) - t(1,2)}= min {27-0; 21—20; 21-12} = 0.

Покажемо терміни настання подій на сітьовому графіку (рис. 10.12). На цьому рисунку також виділено вершини, які від­повідають критичним подіям (для таких подій ранній термін на­стання Е співпадає з їх пізнім терміном настання L).

Рис. 10.12

На рис. 10.12. для кожного комплексу робіт надано ранній (Е) та пізні (L)терміни настання подій (критичні події 1, 4, 6, 7 та 8 виділено).

Ранні та пізні терміни настання подій, а також їхні резерви часу наведені у табл. 10.3

Табл. 10.3

Після обчислення часових характеристик подій визначають часові характеристики кожної з робіт проекту.

За аналогією до подій усі роботи проекту також розподіля­ються на критичні та некритичні. Критичні роботи не мають ре­зерву часу на їх виконання. Навпаки, некритичні роботи мають певний резерв часу, тобто деяке запізнення з їх завершенням не призводитиме до затримки із виконанням проекту в цілому. Се­ред часових характеристик робіт розрізняють повний, вільний та незалежний резерви. Усі ці резерви часу обчислюються на основі даних про ранні та пізні терміни настання відповідних подій.

Повний резерв часу М (і, j) роботи (і, j) — це максимально можлива затримка у виконанні цієї роботи, яка не призведе до за­тримки із виконанням усього проекту за умов, що тривалість ін­ших робіт не змінюватиметься:

M(I,j)=L(j)-E(i)-t(i,j) (10.6)

де: L(j) – пізній термін настання j-ої події, яка є кінцевою для роботи (i, j);

Е (і) – ранній термін настання і-ої події, яка є вихідною для цієї роботи;

t (i, j)- нормативна тривалість виконання відповідної роботи.

Для кожної критичної роботи її повний резерв часу дорів­нює нулю:

для всіх (10.7)

де U * — множина усіх критичних робіт проекту.

Шлях від початкової вершини до кінцевої, який складається лише із критичних робіт, називається критичним шляхом сі­тьового графіка. Довжина критичного шляху збігається із трива­лістю виконання усього комплексу робіт Т*.

Примітка. Сітьовий графік може мати декілька різних крити­чних шляхів. Довжина кожного з них також дорівнює тривалості виконання усього проекту.

Вільний резерв часу N(i, j) роботи (і, j) — це така максималь­но можлива затримка із виконанням цієї роботи, яка не впливає на терміни виконання усіх наступних робіт:

N(i,j) = E(J)-E(i)-t(iJ). (10.8)

Незалежний резерв часу Р{і, j) роботи (і, j) характеризує таку максимально можливу затримку із виконанням цієї роботи, яка не впливає на терміни виконання усіх інших робіт проекту:

Р(і, j) = max {0; E(j) – L(i) - t(i, j)}. (10.9)

Для кожної з робіт усі три види резервів часу задовольняють нерівність:

М{і, j) N(i, j) Р(і, j) 0. (10.10)

Приклад 10.3. Зведемо разом усі часові характеристики робіт (дуг) сітьового графіка, наведеного на рис. 10.13. Такими характе­ристиками роботи (/, j) є:

• тривалість — t(i, j);

• ранній термін початку — раніше якого розпочати роботу

неможливо — Е(ї);

• пізній термін закінчення — перевищення якого призведе до затримки із завершенням проекту в цілому — L(j);

• усі резерви часу — М(і, j), N(i, j) та Р(і, j), які розраховують­ся за формулами (10.6), (10.8), (10.9).

для роботи (3, 5) маємо:

t<(3,5) = 7;E(3) = 20;L(5) = 28;

М(3, 5) = 28 - 20 - 7 = 1; N (3, 5) = 27 - 20 - 7 = 0;

Р(3, 5) = max {0; 27-21-7} = 0.

Резерви часу усіх дуг сітьового графіка та критичний шлях показано на рис. 10.13. Часові характеристики усіх робіт проекту, що розглядається, наведено у табл. 10.4.

На сітьовому графіку комплексу робіт застосовано позначен­ня: ранній та пізній терміни настання подій ;

резерви часу робіт: V, N, P, де М - повний резерв; N - вільний; Р - незалежний; роботи критичного шляху (1—4; 4—6; 6—7; 7—8) виділено.

.

Рис. 10.13

Табл. 10.4

Завершений сітьовий графік (рис. 10.13) і таблиці про часові характеристики подій та робіт (табл. 10.2 і 10.3) є зручними інстру­ментами при обговоренні та затвердженні календарного плану і подальшому контролі за виконанням проекту.