Блок №3

1. Непрерывность функции

Функция , определённая в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если . Другими словами, непрерывна в точке x₀, если выполнены два условия: 1) определена в некотором интервале, содержащем точку ; 2) бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции .

Функция непрерывна в точке в том и только том случае, если .

Если функция непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что непрерывна на множестве X . Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями.

Функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:

1) , но либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимого разрыва;

2)  – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);

3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что – точка разрыва второго рода (рис.3).

Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

2. Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.

1. Исследовать функцию на непрерывность, сделать эскиз графика, если:

1) ;

Решение. Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Именно в ней мы должны найти односторонние пределы (левосторонний и правосторонний). Найдем односторонние пределы в точке .

Согласно теории, точка является точкой разрыва первого рода, то есть в ней

функция претерпевает скачок.

Далее исследуем поведение функции на бесконечности, для этого найдем пределы при

Следовательно, – прямая, которая является для функции горизонтальной

асимптотой.

Сделаем эскиз графика.

2) ;

Решение. Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Определим с помощью односторонних пределов тип разрыва в этой точке.

.

Делаем вывод, что точка будет точкой устранимого разрыва.

Графиком функции является прямая с выколотой точкой при .

Построим график функции, для этого подберем кроме точки (3,1) еще одну

произвольную. Пусть это будет (0,–2).

Сделаем эскиз графика функции.

Устранимый разрыв можно ликвидировать, если доопределить функцию в точке

разрыва, задав:

3) ;

Решение. Заданная функция имеет две точки разрыва: и . Найдем односторонние пределы в этих точках.

Рассмотрим Разложив знаменатель на множители и сократив, получим следующее: – это гипербола, с точками разрыва и .

Тогда

Делаем вывод, что точка является точкой устранимого разрыва.

Найдем предел функции на бесконечности:

_{Следовательно, прямая y = 0 будет горизонтальной асимптотой для заданной}

_{функции.}

_{Построим график функции:}

_{Рассмотрим примеры кусочных функций.}

4)

Решение.

Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:

При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.

_{Следовательно, точка x = 0 является точкой непрерывности функции.}

_{Делаем вывод, что точка x = 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна}

_{слева (по условию).}

_{Строим график склеенной функции:}

5)

Решение. Элементарные непрерывные функции и не определены в точке , а функции и «склеены» в точке , которая, быть может, также является точкой разрыва. Исследуем поведение функции в этих точках.

Точка является точкой устранимого разрыва.

При функция принимает значение, равное 2. Следовательно, точка является точкой непрерывности.

Строим график заданной функции:

6)

Решение.

Функция задана несколькими аналитическими выражениями, поэтому точки разрыва могут быть как в точках склейки , , так и в точках , , , где знаменатели дробей обращаются в нуль.

Сделаем некоторые упрощения: Далее будем рассматривать функцию с точками разрыва , .

Исследуем все точки:

Точка – точка разрыва второго рода.

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка является точкой устранимого разрыва.

Точка является точкой разрыва второго рода.

Исследуем поведение функции при , а функции при .

Сделаем эскиз графика функции: