3. Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция
называется бесконечно малой величиной
(б.м.в.) при
,
если
.
Пусть
,
– б.м.в. при
и
;
тогда:
а)
если
,
то говорят, что
и
являются б.м.в. одного порядка;
при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;
б)
если С
= 0, то
называется б.м.в. более высокого порядка
чем
,
и пишут
.
При
справедливы следующие соотношения,
вытекающие из первого и второго
замечательных пределов и непрерывности
элементарных функций:
,
,
;
,
.
Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.
4. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
Пользуясь определением предела функции, доказать, что
,
и найти
,
если
,
,
,
.
Решение.
Неравенство
равносильно неравенству
.
Тогда
,
откуда получим
.
Выберем
,
следовательно
.
Из неравенства
будет следовать неравенство
.
Ответ.
.
Найти предел функции:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
;
Решение.
Подставляя
в числитель и знаменатель, имеем
неопределенность
.
Разложим числитель и знаменатель на множители, получим
8)
;
9)
,
если а)
,
б)
,
в)
,
г)
;
10)
;
Решение.
Подставляя
в числитель и знаменатель, имеем
неопределенность
.
Раскроем эту неопределенность умножением
числителя и знаменателя на сопряженное
выражение к иррациональному.
11)
;
12)
;
Решение. Раскроем неопределенность переводом иррациональности из
знаменателя в числитель и наоборот.
13)
;
Решение. Раскроем неопределенность приведением к общему знаменателю.
;
14)
; 15)
; 16)
;
17)
;
Решение. Раскрытие неопределенности сведем к первому замечательному пределу.
18)
; 19)
;
20)
;
21)
;
Решение.
Раскрытие неопределенности
сведем ко второму замечательному
пределу.
;
22)
;
23)
; 24)
; 25)
;
26)
;
Решение.
27)
;
Решение. Учитывая, что
получим
28)
.
Ответ.
1) -8; 2)
;
3) 0; 4) 5; 5) 0; 6)
;
7) 0; 8) 6;
9)
а) 0; б)
;
в)
;
г) –1; 10) 1; 11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15) 1; 16) 5; 17) 4; 18) 8; 19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25) 0; 26) –3; 27)
;
28)
.
5. Задания для самостоятельного решения
Найти предел функции:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
; 21)
;
22)
; 23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
;
31)
;
32)
; 33)
;
34)
; 35)
;
36)
; 37)
;
38)
;
39)
;
40)
; 41)
; 42)
;
43)
; 44)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4) 2; 5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10) 7; 11) 1; 12) 3; 13)
;
14)
;
15)
;
16) 0; 17)
;
18)
;
19) 2; 20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27) 18; 28)
;
29)
;
30)
;
31)
;
32) 0; 33)
;
34) 0; 35)
;
36)
;
37) 1; 38) 6; 39) –1; 40)
;
41)
;
42)
;
43)
;
44)
.