21

Раздел 13. Элементы теории оптимального управления

Введение. Функция понтрягина

Пусть состояние некоторой системы в момент времени описывается величиной , называемой фазовой переменной. Процесс , которым можно, хотя бы частично, управлять изменением фазовой переменной, назовём управлением. Считаем, что в начальный момент задана величина . Изменение описывается управляемым дифференциальным уравнением

. (1)

При выборе определённого управления, уравнение (1) становится дифференциальным уравнением первого порядка относительно . Обычно наличие начального условия обеспечивает единственное решение задачи. Допустим, что польза от выбора управления измеряется величиной

(2)

где заданная функция. Величину назовём целевой функцией.

Поставим задачу выбора среди всех пар , удовлетворяющих (1), а также некоторым ограничениям, наложенным на , такой пары, при которой величина (2) максимальна. Такие задачи часто встречаются при исследовании математических моделей экономических процессов. Например,

в модели экономического роста решается задача найти

Рассмотрим сначала простую задачу теории оптимального управления, в которой на величины и не накладываются ограничения. Хотя этот случай практически не встречается в приложениях, его рассмотрение позволяет лучше понять основные принципы изучаемой теории. Итак, рассмотрим задачу найти

(3)

при условиях (2), т.е. .

Пару назовём допустимым управляемым процессом (сокращённо: допустимой парой), если она удовлетворяет условиям (2).

Ставится задача среди всех допустимых процессов выбрать оптимальный, при котором достигается максимум в (3).

Для решения этой задачи будет использован принцип максимума Понтрягина ( академик Лев Семёнович Понтрягин – один из крупнейших математиков прошлого века). Рассмотрим функцию Понтрягина

(4)

(в западной литературе она обычно именуется Hamiltonian). Величину называют сопряжённой функцией. (Она представляет собой некоторый аналог множителя Лагранжа в задаче об условном экстремуме).

Сформулируем (в несколько упрощённом виде) принцип максимума Понтрягина, дающий необходимое условие оптимальности допустимой пары.

Теорема. Если оптимальная пара, то существует непрерывная функция такая, что для всех функция максимизирует функцию

), , (5)

причём

. (6)

Условие называется условием трансверсальности.

Простое достаточное условие оптимальности допустимой пары даёт теорема.

Теорема. Пусть при условиях предыдущей теоремы для любого функция выпукла вверх, как функция от совокупности переменных . Тогда найденное решение является оптимальным.

Рассмотрим примеры применения этих теорем.

Задача. Найти

конец не закреплён.

Решение. Функция Понтрягина (4) в этой задаче равна

.

Управление максимизирует эту функцию по тогда и только тогда, когда

.

Так как

условие (6) принимает вид

Интегрируя, находим

Следовательно,

.

По условию,

.

Интегрируя это равенство и учитывая, что получаем

.

Таким образом, найдена единственная пара функций , которая вместе с сопряжённой функцией удовлетворяет (5) и (6).

Так как функция выпукла вверх по совокупности переменных , решение оптимальное.

Задача. Найти

конец не закреплён.

Решение. Используем принцип максимума в задаче найти

Функция Понтрягина (4) в этой задаче равна

.

Управление максимизирует эту функцию по тогда и только тогда, когда

.

Так как

сопряжённая функция удовлетворяет уравнению

(7)

Так как

, (8)

получаем систему уравнений (7) и (8) для нахождения и Дифференцируя (7) и используя (8), получаем уравнение

,

из которого, полагая находим

.

Используем условие трансверсальности принципа максимума и равенство (7) при т.е. и получим

,

откуда

, ,

значит,

и

.

Функция Понтрягина выпукла вверх, как функция от совокупности переменных и найденное решение является оптимальным.

Задача. Найти

конец не закреплён.

Решение. Функция Понтрягина (4) в этой задаче равна

.

Управление максимизирует эту функцию по тогда и только тогда, когда

.

Так как

сопряжённая функция удовлетворяет уравнению

Из него находим

Условие трансверсальности принимает вид откуда

и , откуда . Условие даёт

, откуда )+ . Так как

, откуда )+

Функция Понтрягина выпукла вверх, как функция от совокупности переменных и найденное решение является оптимальным.

Задачи. Найти :

1. 

конец не закреплён.

конец не закреплён.