Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

.

 По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставкеr, и при начислении процентов один раз в году при процентной ставкеrэ: . Следовательно: ,откуда легко следует:

  .

 Наращение и дисконтирование с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что:

.Если начисление процентов производится т раз в году, то формула будет иметь вид:.

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних: ,

10. Сложные ставки ссудных процентов.

  

11. Сложная учетная ставка

УЧЕТНЫЙ ПРОЦЕНТ— 1) процент, взимаемый банком с суммы векселя при покупке (учете) его банком до наступления срока платежа; представляет собой разницу между номиналом ценной бумаги и суммой, уплаченной при ее покупке. Банк при учете векселя выплачивает предъявителю сумму его номинальной стоимости за вычетом скидки, равной учетному проценту. Право получения денег по векселю переходит к банку, который может либо получить с векселедержателя по истечении срока полную сумму, указанную в векселе, либо перепродать его на денежном рынке с соответствующей скидкой. Таким же образом учитываются и другие долговые обязательства; 2) ссудный, кредитный процент, взимаемый банком за предоставление межбанковского кредита.

При использовании сложной годовой учетной ставки для определения параметров финансовой сделки используем следующие формулы:

• для определения суммы, получаемой заемщиком:

  • в конце первого интервала:

• в конце второго интервала:

• через nлет:

• для определения наращенной суммы:

.

Наращение сумм по сложной учетной ставке и сложной ссудной ставке происходит с разной скоростью (рис. 3.1): скорость выше при применении сложной учетной ставки.

Так как при d< 1 выполняется условие

то для должника выгоднее наращение по сложной учетной ставке, чем наращение по простой учетной ставке.

При начислении процентов mраз за период наращенная сумма определяется по формуле

.

Если период начисления не является целым числом, тогда формула примет вид

где w— целое число лет;f— дробная часть года.

Предположим, что ставка сложных процентов будет разной на разных интервалах начисления. Пусть —продолжительность интервалов начисления в годах; — годовые учетные ставки процентов, соответствующие этим интервалам, тогда наращенная сумма определяется по формуле.

Для непрерывного начисления процентов наращенная сумма вычисляется по формуле

.

12. Эквивалентные и эффективные ставки

это такие процентные ставки разного вида, применение которых при различных начальных условиях дает одинаковый финансовый результат.

Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки. Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Для нахождения эквивалентных процентных ставок используютуравнения эквивалентности. Принцип составления данных уравнений заключается в следующем: выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании

различных процентных ставок (обычно это наращенная суммаF); на основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности. Из полученного уравнения путем преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Для вычисления наращенных сумм при использовании разных ставок используются следующие ранее выведенные формулы:

где r— простая ссудная ставка;

— сложная ссудная ставка;

d — простая учетная ставка;

— сложная учетная ставка;

n — период начисления в годах.

Составляя различные уравнения эквивалентности, получаем некоторые соотношения для эквивалентных ставок:

Уравнения эквивалентности также используются при решении задач, связанных с заменой или объединением платежей.

При консолидации платежей (в случаях и сложных, и простых процентов) возникают две задачи: либо определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан; либо определение срока известного консолидированного платежа. Обе задачи решаются с использованием уравнения эквивалентности контрактов. Два контракта считаются эквивалентными, если потоки платежей по этим контрактам, приведенные к одному моменту времени, одинаковы.

Уравнение эквивалентности используют и при вычислении так называемой эффективной ставки. Именно эффективная ставкахарактеризует реальную доходность финансовой операции, в то время как в контрактах обычно оговаривается годовая номинальная ставка. Меняя частоту начисления процентов, можно существенно влиять на доходность операции. В частности, ого­воренная в контракте номинальная ставка вr % может при определенных услови­ях вовсе не отражать истинный относительный доход (относитель­ные расходы).

Для определения реальной доходности финансовой операции общая постановка задачи обычно формулируется так: задается исходная сумма Р, номинальная годовая процентная ставкаr, число начислений сложных процентовm. Для этого набора данных вычисляется наращенная величинаF(n).Требуется найти такую годовую ставкуr(e), называемуюэффективной, при которой при однократном начислении процентов получится такая же наращенная сумма: то есть схемы {P, F(n), r, m>1} и {P, F(1), r(e), m=1} должны быть равносильными. На основании формулы (3.14) приn = 1 и определения эффективной ставки можно составить уравнение эквивалентности

согласно которому годовая эффективная ставка определяется по формуле

Из формулы (3.24) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений и с ростом числа начислений сложных процентов mона увеличивается. Для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку. Именно эффективная ставка может использоваться для определения реальной доходности финансовой операции.

Из формулы можно вывести формулу для вычисления номинальной ставки r, если в контракте указана эффективная ставкаr(e):

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления процентов и неодинаковыми ставками.

Пусть — размер номинальной ставки приmначислениях в году. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место в том случае, если

Эффективная учетная ставка вычисляется из уравнения эквивалентности

откуда эффективная ставка определяется по формуле

(3.26)

Из формулы (3.26) можно вывести формулу для вычисления номинальной ставки r, если в контракте указана эффективная ставкаd(e):