0. Классификация позиционных и метрических задач

Любую позиционную и метрическую задачу можно решить как методом плоскопараллельного перемещения, так и методом перемены плоскостей проекции или другим известным методом. Обычно метод решения задачи оговаривается в условии. Большинство задач в начертательной геометрии можно разделить на две большие группы, для решения которых необходимо преобразовать:

1. прямую до положения уровня или проецирующего положения;

2. плоскость до проецирующего положения или положения уровня.

Классифицируем задачи, для решения которых необходимо преобразовывать прямую:

• определить натуральную величину расстояния между двумя скрещивающимися прямыми;

• определить линейный угол двугранного угла;

• построить прямую, параллельную двум заданным прямым и отстоящую от одной и другой на указанные расстояния;

• построить сферу, касательную к заданной прямой и точку касания;

• построить сферу, касательную к двум плоскостям и точки касания;

• через точку провести прямую, пересекающую две скрещивающиеся прямые;

• построить недостающую проекцию прямой, параллельной заданной и отстоящей от нее на заданное расстояние;

• построить недостающую проекцию точки, если она удалена от заданной прямой на заданное расстояние;

• построить ось цилиндра, у которого даны три образующие;

• определить натуральную величину расстояния между параллельными прямыми;

• определить натуральную величину расстояния от точки до прямой.

Классифицируем задачи, для решения которых необходимо преобразовывать плоскость:

• в плоскости построить биссектрису;

• в плоскости построить центр описанной окружности;

• в плоскости построить центр вписанной окружности;

• в плоскости построить прямую, параллельную заданной на заданном расстоянии;

• в плоскости построить любую плоскую фигуру (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм и т.п.) с заданными параметрами;

• определить угол наклона прямой к плоскости;

• на прямой построить точки, удаленные от заданной точки на заданное расстояние;

• определить натуральную величину и угол наклона заданной плоскости к плоскости проекции;

• достроить недостающую проекцию плоскости, если известен угол наклона ее к плоскости проекции и линия уровня заданной плоскости;

• построить точку, симметричную заданной относительно плоскости;

• определить натуральную величину расстояния между параллельными прямыми;

• определить натуральную величину расстояния от точки до прямой.

Курсивом выделены задачи, которые можно решить, преобразовывая прямую или преобразовывая плоскость.

3. Эпюр 3

Эпюр 3 состоит из четырех задач – построение трех проекций заданных тел с вырезом фронтально проецирующими плоскостями. Задачи данного эпюра основываются на умении определять точки, принадлежащие поверхности многогранника (призма и пирамида) и поверхности тела вращения (цилиндр, конус и сфера). Построение трех проекций сферы с вырезом фронтально проецирующими плоскостями выполняется в аудитории.

Определение на эпюре точки, принадлежащей поверхности, относится к задаче наиболее часто встречающейся в инженерной практике. Решение может быть реализовано с помощью единого алгоритма, в основе которого лежит одно из основных свойств ортогонального проецирования – если точка принадлежит линии, то ее одноименные проекции принадлежат одноименным проекциям линии.

В свою очередь, из этого свойства следует более общее утверждение – если точка принадлежит поверхности, то она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Необходимо иметь в виду, что при решении подобных задач всегда следует брать наиболее простую по форме линию – прямую или окружность.