14.5.Производные основных элементарных функций

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

f(x)		f(x)		f(x)
C	0			cosx	-sinx
x	1	lnx	1/x	tgx	1/cos2x
xn	nxn-1	ax	axlna	arcsina
	1/(2 )	loga x		arccosa	-
1/x	-1 / x2	sinx	cosx	arctgx	1/(1+x2)

Вывод формул производных основных элементарных функций см. Демидович, Кудрявцев «Краткий курс высшей математики», глава X «Основные теоремы о производных», стр. 155-177

14.6.Понятие локального экстремума. Точки перегиба

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b) и для любого х из интервала (а; b) выполнено неравенство f '(x) > О (f '(x) < 0) то f(x) возрастает (соответственно убывает) на этом интервале. Если для любого х из (a,b) неравенство нестрогое это означает, что функция на промежутке не убывает (не возрастает)

Определение 14.6(1)

Точка х_о называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность U(x_o) этой окрестности, что

(соответственно, )

Определения 14.6(2)

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.

Точки области определения непрерывной функции f(x), в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Теорема 14.6(1) Ферма. Необходимое условие экстремума

Если x₀ — точка локального экстремума для функции f(x), то в этой точке производная функции либо равна нулю f '(x₀) = 0, либо не существует.

.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Терема 14.6(2)Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция f(х) непрерывна в точке х_о и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки х_о). Тогда, если f'(x) меняет знак при переходе через точку х_о, то х_о — точка окального экстремума (если с «+» на «—» — локальный максимум, если же с «—» на «+» — локальный минимум) (см. рис. 14.6.1).

Рис.14.6(1)

Если производная при проходе точки х_о знака не меняет, эта точка оказывается точкой строго возрастании (и перегиба) или строго убывания (перегиба) см.рис. 14.6(2)

Рис. 14.6(2)

Терема 14.6(3)Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция f(x) имеет в точке х_о производные первого и второго порядков. Тогда, если f'(х_о) = 0, f"(х_о) ≠ 0, то хо — точка локального экстремума. В частности, если f'(х_о) = 0, f"(х_о) < 0, то х_о— точка локального максимума, а если f'(х_о) = 0, f"(х_о) > 0, то х_о — точка локального минимума.

Определение 14.6(3)

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х_о. Тогда если при переходе через точку х_о функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точкой перегиба функции f(x). Точка (х_о, f(х_о)) при этом называется точкой перегиба графика функции f(x) (см.рис.

Рис.14.6

Точки перегиба можно охарактеризовать и в терминах производных второго и третьего порядка

Теорема 14.6.(4)Необходимое условие точки перегиба.

Если х_о — точка перегиба функции f(x), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю (f"(хо) = 0), либо не существует.

Теорема 14.6(5) (первое достаточное условие точек перегиба).

Если функция f дифференцируема в точке х_о, дважды дифференцируема в

некоторой проколотой окрестности этой точки и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку х_о, то х_о является точкой перегиба функции f.

Теорема 14.6 (второе достаточное условие точек перегиба).

Если в некоторой точке вторая производная функция равна нулю, а третья

не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба.