11.5. График функции. Построение графика обратной функции

Определение 11.5.

Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости, координаты которых соответствуют аналитическому выражению y=f(x).

Для построения графика обратной функции вспомним, что мы рассматриваем зависимость x от y. Поэтому то, что было областью определения для исходной (прямой) функции станет множеством значений обратной и наоборот. Поэтому график обратной функции будет отражением графика исходной относительно оси y = x. Очевидно, что в обратной функции сохраняется порядок возрастания-убывания исходной функции, поэтому, если исходная функция возрастала или убывала, обратная функция будет таковой же.(см.рис.11.5)

Рис.11.5

Рассмотрим построение графика обратной функции на примере функции y = sin x.

График прямой функции имеет вид:

где бесконечному количеству различных х соответствует в силу периодичности одно и то же значение y. Рассмотрим отрезок [-π/2, π/2], на котором функция инъективна и является возрастающей, а ее значения меняются на промежутке [-1,1] и сужение функции y = sin x на этот промежуток.

Соответственно, областью определения обратной функции станет промежуток [-1,1], а множеством значений – промежуток [-π/2, π/2].

Принимая во внимание симметрию относительно оси y=x и возрастание прямой функции, получим график обратной функции y=arcsin x :

11.6. Элементарные функции и их графики.

Определение 11.6

Функции

называют основными элементарными функциями.

Всякая функция f, которая может быть задана с помощью формулы у = f(x) содержащей лишь конечное множество арифметических операций над основными элементарными функциями и композиций, называется элементарной функцией.

Обзор основных элементарных функций и их графиков можно посмотреть:

Б.П.Демидович, В.А,Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» §8,9 главы VI стр.78-88

11.7.Преобразование графика функции.

Если известен график функции у = f(x), то с его помощью легко получить

график функции вида у = kf(ax + b) + l. Опишем это построение по

этапам. Из графика функции /(ж):

1) график функции f(ax), а > 0, получается сжатием графика f(x) вдоль оси х в а раз ("сжатие" с коэффициентом а, 0 < а < 1, является растяжением в 1/а раз);

2) график функции f(—x) — преобразованием симметрии относительно оси у;

3) график функции f(x + b) — переносом параллельно оси х на отрезок длины |b| влево, если b > 0, и вправо, если b < 0;

4) график функции kf(x), k > 0, — растяжением вдоль оси у в к раз ("растяжение" с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/к раз);

5) график функции —f(x) — преобразованием симметрии относительно оси х;

6) график функции f(x) + l — переносом параллельно оси у на

отрезок длины |l| вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0.

7) график y = f(|x|), исходя из определения модуля, будет графиком функции y=f(x), x≥0 и f(-x), x<0. То есть, при неотрицательном х график будет совпадать с графиком функции y=f(x), а при отрицательных – соответствовать y=f(-x) (то есть будет отражением графика y=f(x) , соответствующего неотрицательным х, относительно оси oy)

8) график y = |f(x)|, исходя из определения модуля, при котором при f(x)≥0 модуль будет равен просто f(x), а при f(x)<0 равен –f(x). То есть, в той части, где график функции лежит над осью х он остается без изменений, а часть, находящаяся ниже оси ох отражается относительно нее в верхнюю полуплоскость.

Применив эти операции, из графика функции f(x) можно получить график функции