11.2. Способы задания функции

Всякий закон природы, дающий связь одних явлений с другими, устанавливает функциональную зависимость между величинами.

Существует много способов для изображения функциональных зависимостей, но самое важное значение имеют три способа:

1) аналитический,

2) способ таблиц и

3) графический, или геометрический.

Мы говорим, что функциональная зависимость между величинами или, проще, функция изображена аналитически, если величины эти связаны между собой уравнениями, в которые они входят, подвергаясь различным математическим операциям: сложению, вычитанию, делению, логарифмированию и т. д. К аналитическому изображению

функций мы приходим, когда исследуем вопрос теоретически, т. е., установив основные предпосылки, мы применяем математический анализ и получаем результат в виде некоторой математической формулы.

Если мы имеем непосредственное выражение функции (т. е. зависимой переменной) при помощи математических действий над другими, независимыми переменными, то говорят, что функция аналитически задана явно. Примером явного задания функции может служить выражение объема газа v при постоянной температуре через давление (явная функция одной независимой переменной):

или выражение площади треугольника S через три его стороны (формула Герона)

- явная функция трех независимых переменных

Рассмотрим таблицу включающую значения высоты над уровнем моря h и среднегодовую температуру t и устанавливающая зависимость между этими переменными

Такой способ задания называется табличным

Зная аналитическое задание функции можно составить таблицу ее значений. Так например для функции y = x соответствующая таблица будет иметь вид:

Возникает вопрос: всегда ли можно о табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, т.е. записать такую функцию формулой?

Для этого заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно ( так называемое интерполирование функции). Поэтому в обще случае точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблицу, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формулы носят название интерполяционных.

Аналитический и табличный способы изображения функции «страдают» отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x), когда соответствие между аргументом x и функцией y=f(x) устанавливается с помощью графика

(см. рис.11.2)

Рис.11.2

Здесь чтобы для некоторого значения аргумента, например х, найти отвечающее ему значение y функции, нужно на оси Ox отложить в соответствующем направлении отрезок OA=x, а затем построить перпендикуляр AM до пересечения с графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим знаком, мы и получим число y=f(x). Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем иметь соответствующие значения y, которые, если это нужно, можно записать в виде таблицы.