Модуль 2. Введение в математический анализ

Лекция 11. Функции

11.1. Понятие функции. График функции.

11.2. Способы задания функции

11.3.Сложная функция

11.4. Обратная функция.

11.5. График функции. Построение графика обратной функции

11.6. Элементарные функции и их графики.

11.7.Преобразование графика функции.

11.8.Полярные координаты

Программные положения

Понятие функции является одним из центральных понятий не только математического анализа, но и математики в целом. Знакомство с понятием функциональной зависимости необходимо также для того, чтобы иметь возможность отличать его от зависимости стохастической в теории вероятностей и математической статистике.

Методические рекомендации

Внимательно прочитайте текст лекции разберите примеры. Повторите определение и способ построения графиков элементарных функций. Обратите внимание на переход от прямоугольных координат к полярным и обратно.

Литература

1. А.В.Дорофеева «Высшая математика» глава 2 стр. 37-52

2. Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава VI стр. 64-94

3. Р.Курант, Г.Роббинс «Что такое математика?» глава VI §1, стр. 299-316

Допонительно:

А.Я.Хинчин «Восемь лекций по математическому анализу» Лекция 3 «Функции»

Контрольные вопросы

1. Что такое функция?

2. Что такое график функции?

3. Какие функции называют элементарными?

4. Как построить их графики?

5. Приведите примеры прямых и обратных функций

7. Существуют ли функции, обратные сами себе?

8. Постройте графики функций

1) y = |2- cos (x/2)|

2) y = - 2sin 3x

3) y = |{x} – ½|

9. Какие из указанных функций имеют обратную? Для таких функций найти обратную:

1) y = 3x+5

2) y = |x|

3)

4) y = x³ -2

10. Какие прямоугольные координаты имеют точки, заданные в полярных координатах A(5,0), B(6, π/4), C(2, π/2), D(4, 5π/4)?

11. Напишите в полярных координатах уравнения линий

y=2x, y = - 1

11.1. Понятие функции. График функции.

Важнейшие разделы современной математики сосредоточиваются вокруг понятий функции и предела.

Такие выражения, как, например, x² + 2x − 3, не имеют определенного числового значения, пока не указано значение x.

Говорят, что значение этого выражения есть функция значения x, и пишут

x² + 2x − 3 = f(x).

Например, если x = 2, то 2² + 2 · 2 − 3 = 5, так что f(2) = 5. Таким же образом непосредственной подстановкой можно найти значение функции f(x) при любом целом, дробном, иррациональном и даже комплексном значении x.

Количество простых чисел, меньших чем n, есть функция π(n) целого числа n. Когда задано значение числа n, то значение функции π(n) определено, несмотря на то что неизвестно никакого алгебраического выражения для его подсчета. Площадь треугольника есть функция длин трех его сторон; она меняется вместе с ними и делается фиксированной, если зафиксированы длины сторон. Если плоскость подвергается проективному или топологическому преобразованию, то координаты точки после преобразования зависят от первоначальных координат точки, т. е. являются их функциями. Понятие «функция» выступает каждый раз, как только величины связаны каким-нибудь определенным физическим соотношением. Объем газа, заключенного в цилиндр, есть функция температуры и давления, оказываемого на поршень. Замечено,

что давление атмосферы на воздушный шар есть функция высоты шара над уровнем моря. Целая область периодических явлений — движение приливов, колебание натянутой струны, распространение световых волн, испускаемых накаленной проволокой, — «регулируется» простыми тригонометрическими функциями sin x и cos x.

Для самого Лейбница (1646–1716), который впервые ввел термин «функция», и для математиков XVIII в. идея функциональной зависимости более или менее идентифицировалась с существованием простой математической формулы, точно выражающей эту зависимость.

Такая концепция оказалась слишком узкой по отношению к требованиям, предъявленным математической физикой, и понятие «функция» вместе с упомянутым выше понятием «предел» впоследствии длительно подвергалось обобщениям и шлифовке.

Определение 11.1.

Функция – это отображение множества X в множество Y X→Y, где множество Y – числовое.

X называется область (множеством) определения функции , Y – множество ее значений

Если каждому значению x какого-либо промежутка на основании некоторого правила приводится в соответствие определенное значение y, то говорят: y является функцией от x и пишут символически

y=f(x), y=F(x) y=g(x)

или как-нибудь аналогично . При этом x называют независимой, y – зависимой величиной (переменной), x называют также аргументом функции.

В общем определении понятия заданной в некотором интервале функции ничего не говорится о характере того правила, согласно которому зависимая переменная получается из независимой. Это правило может быть как угодно сложно, и в некоторых теоретических вопросах эта общность является преимуществом. Однако в большинстве случаев , в частности, в дифференциальном и интегральном исчислении и в приложениях, функции, с которыми приходится иметь дело, не обладают наибольшей общностью; напротив, законы соответствия, относящие каждому значению x определенное значение y, в каждом вопросе обычно подчиняют некоторым упрощающим ограничениям.

Понятие функциональной зависимости имеет исключительное значение не только в самой «чистой» математике, но также и в практических ее приложениях. Физические законы являются не чем иным, как выражением способа, посредством которого некоторые величины зависят от других, способных изменяться так или иначе. Так, например, высота

звука, производимого колеблющейся струной, зависит от ее длины, от ее веса и от степени ее натяжения; давление атмосферы зависит от высоты; энергия пули зависит от ее массы и скорости. Задача физики состоит в точном или приближенном определении природы всех подобного рода зависимостей.

С помощью понятия функции можно дать точную в математическом смысле характеристику движения. Если представим себе, что движущаяся частица сосредоточена в некоторой точке пространства с прямоугольными координатами x, y, z, и если переменное t измеряет время, то движение частицы полностью определено заданием координат x, y, z как функций времени:

x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Примером этого может служить свободное падение частицы по вертикали под действием одной лишь силы тяжести: мы имеем в этом случае соотношения

x = 0, y = 0, z = − ½ gt²

где g обозначает ускорение силы тяжести. Если частица равномерно вращается по единичной окружности в плоскости x, y, то движение ее характеризуется функциями

x = cos wt, y = sin wt,

где w—постоянное число (так называемая угловая скорость вращения).

Замечание 11 (1).

Под математической функцией следует понимать просто закон, управляющий взаимными зависимостями переменных величин — и не более того. Понятие функции не подразумевает существования чего-либо близкого к «причине и следствию» в отношениях между независимой и зависимой переменными. Хотя в обыденной речи термин «функциональная зависимость» сплошь и рядом употребляется именно в этом последнем смысле, мы будем избегать такого рода философских интерпретаций. Так, например, закон Бойля, относящийся к газу, заключенному в некоторую замкнутую оболочку при постоянной температуре, утверждает, что произведение давления газа p на его объем v есть величина постоянная, равная c (последнее значение, в свою очередь, зависит от температуры):

pv = c.

Это соотношение можно решить как относительно p, так и относительно v:

p = c/v или v = c/p ;

при этом не следует подразумевать ни того, что перемена объема есть «причина» изменения давления, ни того, что изменение давления есть «причина» изменения объема. Для математика существенна лишь форма соответствия (связи) между двумя переменными величинами, которые он рассматривает.

Замечание 11.1. (2) (Курант, Роббинс «Что такое математика?»)

Следует заметить, что подход к понятию функции несколько отличается у математиков и у физиков. Математики обычно подчеркивают закон соответствия, математическую операцию, которую нужно применить к значению независимого переменного x, чтобы получить значение зависимого переменного u. В этом смысле f( ) есть символ математической операции; значение u = f(x) есть результат применения операции f( ) к числу x. С другой стороны, физик часто более заинтересован в самой величине u как таковой, чем в какой-то математической процедуре, с помощью которой значение u может быть получено из значения x. Так, например, сопротивление u воздуха движению предмета зависит от скорости v движения и может быть найдено экспериментальным путем, независимо от того, известна ли явная математическая формула для вычисления u. Физика прежде всего интересует фактическое сопротивление, а не специальная математическая формула f(v), если только эта формула не помогает при анализе поведения величины u. Таково обычно отношение тех, кто применяет математику к физике или инженерному делу.

В некоторых высших разделах математического анализа, чтобы избежать путаницы, иногда бывает существенно различать совершенно отчетливо, будет ли под символом u = f(x) подразумеваться операция f( ), применяемая к x для получения u, или же сама величина u, которая, в свою очередь, может рассматриваться как зависимая, и совсем другим образом, от некоторой другой переменной z. Например, площадь круга задается функцией u = f(x) = πx², где x — радиус круга, но можно также написать: u = g(z) = z² / 4π , понимая под z

длину окружности.