6.Тригонометрическаяформа

КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА

   Рисунок 5

Запись комплексного числа Z в виде A+B·i  называетсяалгебраической формойкомплексногочисла. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записикомплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическуюформу записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·iвыражаются через его модуль />= rи аргумент j следующим образом:  

A=r·cosj; B= r·sinj.

  Число Z можно записать так:

     Z= r·cosj+i·/>·sinj = r·(cosj +i·sinj)

Z = r·(cosj +i·sinj)      (2)

Эта запись называется тригонометрическойформой комплексного числа.

r =/>– модуль комплексного числа.

 Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z/>0 называется величина угла междуположительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считаетсяположительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной,если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случаечисло задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше />= r =/>, равенство (2)можно записать в виде

A+B·i=/>·cosj+i·/>·sinj, откуда приравнивая действительные имнимые части, получим:

cosj =/>,            sinj =/>                  (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj=/>        (4)

Эту формулу удобней использовать длянахождения аргумента j,чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4),являются аргументами числа A+B·i. Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, вкакой четверти расположена точка A+B·i.

7.Свойствамодуля и аргумента

        КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

 

С помощью тригонометрической формыудобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1= r1·(cosj1<sub/>+i·sinj1), Z2<sub/>= r2·(cosj2<sub/>+i·sinj2).Тогда:

Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=

=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)].

Таким образом, произведениекомплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить поформуле:

Z1Z2=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)]    (5)

Из формулы (5) следует, чтоприумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z1=Z2 то получим:

Z2=[r·(cosj+i·sinj)]2= r2·(cos2j+i·sin2j)

Z3=Z2·Z=r2·(cos2j+i·sin2j)·r·(cosj+i·sinj)=

=r3·(cos3j+i·sin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z=r·( cosj+i·sinj)/>и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn<sup/>=[ r·(cosj+i·sinj)]n= rn·(cosnj+i·sinnj),     (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел,записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

/>/>/>[ cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2)].       (7)

/>= />=cos(–j2) + i·sin(–j2)

Используя формулу 5

/>(cosj1 +i·sinj1)×(cos(–j2) + i·sin(–j2)) =            

cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2).

Пример 3:

Z3 = –8

Число –8запишем в тригонометрической форме

8 = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)),   kÎZ

Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r3×(cos3j+ i×sin3j) = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)),   kÎZ

Тогда  3j =p + 2pk,       kÎZ

j=/>,        kÎZ

r3 = 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2·( cos(/>) + i·sin(/>)),   kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = 2·( cos/> +i·sin/>) = 2·(/>i) = 1+/>×i

k = 1

Z2 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cosp + i·sinp) = –2

k = 2

Z3 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cos/> + i·sin/>) = 1–/>×i

                                                              Ответ: Z13 = />;Z2 = –2

 

Пример 4:

Z4 = 1

Число 1запишем в тригонометрической форме

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)),   kÎZ

Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r4×(cos4j+ i×sin4j) =cos(2pk) + i·sin(2pk)),   kÎZ

4j = 2pk,    kÎZ

j= />,     kÎZ

r4= 1

r = 1

Z = cos />+ i×sin/>

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ i×sin0= 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos />+ i×sin/> = 0 +i = i

k = 2

Z3 = cosp + i·sinp = –1+ 0 = –1

k = 3

Z4 = cos />+ i×sin/>

                                             Ответ: Z13 = />1

                                                   Z24 = /> i