8.3 Прогиб и угол поворота сечения при изгибе.

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки (рис. 6.6) под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции, искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательные перемещения. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается буквой У.

Угол , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Угол поворота также может быть определен как угол между касательной к упругой линии с осью z (рис. 6.6).

Заметим, что длина изогнутой оси, принадлежащей нейтральному слою, при искривлении бруса не изменяется, следовательно, при этом происходит смещение её точек также и в направлении оси z. Однако в большинстве случаев смещения х настолько малы, что ими можно пренебречь.

а) б)

в)

Рисунок 8.6 – Перемещения при изгибе

у и θ находятся в определенной зависимости, которые можно определить, если двумя сечениями 1-1, 2-2 вырезать элементарный элемент длиной dz в исходном и деформируемом состояниях (рис. 8.7).

Рисунок 8.7 – Соотношение прогиба и угла поворота сечения

θ – первая производная от прогиба у (рис. 8.8).

Рисунок 8.8 – Выделенный элемент

8.4 Дифференциальное уравнение упругой линии балки.

Исходя из физической природы изогнутой оси бруса, можем утверждать, что упругая линия должна быть непрерывной и гладкой (не имеющей изломов) кривой, следовательно, на протяжении всей оси бруса должны быть непрерывны функция ω и ее первая производная. Прогибы и углы поворота и являются перемещениями сечений балок при изгибе. Деформация того или иного участка балки определяется искривлением его изогнутой оси, т.е. кривизной.

Выпишем формулу (13):

(13)

Из курса высшей математики известно уравнение плоской кривой:

(15)

Если изгибающий момент положителен, то упругая линя своей вогнутой стороной обращена вверх и, следовательно, при принятом направлении координатных осей кривизна к = l/ρ считается положительной. При отрицательном изгибающем моменте кривизна также отрицательна. Если бы ось у была нами направлена вниз, то при положительном изгибающем моменте кривизна была бы отрицательной, а при отрицательном моменте – положительной, поэтому в (15) применяется «+».

Приравняв правые части (13) и (15), получим точное ДУ упругой линии балки:

Оно является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, интегрирование которого, как известно, представляет значительные трудности. В связи с этим и так как в подавляющем большинстве рассматриваемых на практике задач прогибы малы, точное уравнение заменяют приближенным уравнением – уравнением для малых перемещений.

Т.к. в знаменателе формулы (15) является величиной второго порядка малости по сравнению с единицей, то ею обычно пренебрегают.