8.2 Закон распределения нормальных напряжений по высоте произвольного сечения.
Рассмотрим произвольное, например, прямоугольное поперечное сечение, в котором выделим ряд характерных точек и определим в них σ по формуле (14).
Рисунок 8.4 – Закон распределения σ
Т.к. в формуле (14) величины М и Ix – const для всех точек сечения, то σ пропорционально у, т.е. закон распределения σ – прямая линия, проходящая через 0 в точке 3. Знак σ зависит только от знака момента М, в данном случае М < 0 (рис. 8.4).
Таким образом:
Формула (14) показывает, что, какую бы форму и размеры ни имело сечение, напряжения в точках нейтральной линии равны нулю. Величина σ линейно возрастает по мере удаления от нейтральной линии. При этом напряжения оказываются постоянными по ширине сечения (вдоль линии у = const). Следовательно, эпюра σ для любых сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии, всегда будет иметь вид, представленный на рисунке 8.4. Все волокна, расположенные выше нейтральной линии, окажутся сжатыми, а ниже ее – растянутыми (рис. 6.5). Если же изгибающий момент будет иметь противоположный знак, то верхние волокна будут растягиваться, а нижние сжиматься (рис. 8.4).
Наибольшей величины (σмакс)
напряжения достигают в волокнах, наиболее
удаленных от нейтральной линии, т.е. в
случае симметрии сечения относительно
горизонтальной оси х при
Рисунок 8.5 – Треугольное сечение
Условие прочности при изгибе.
где σmax – наибольшее нормальное напряжение
- допустимое нормальное напряжение
Условие прочности при изгибе:
Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы о рациональной форме сечения при чистом изгибе. В отличие от простого растяжения – сжатия при изгибе, как и при кручении, напряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях его экономии и снижения веса конструкции для деталей, работающих на изгиб, следует, выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии. Идеальным с этой точки зрения является сечение, состоящее из двух узких прямоугольников. Реально такое сечение невыполнимо, так как эти два прямоугольника должны быть связаны между собой, чтобы представлять одно сечение. Из практически встречающихся профилей наиболее близко к идеальному двутавровое сечение.
Изгибающий момент, который сечение
способно выдержать безопасно,
пропорционален W. Величина наибольшего
действующего в сечении напряжения
должна быть ограничена значением [σ].
Расход же материала пропорционален площади сечения F. Следовательно, чем больше отношение W/F, тем больший изгибающий момент выдерживает сечение с заданной площадью (т.е. с заданным весом стержня) и тем меньше материала уйдет на изготовление стержня, выдерживающего заданный изгибающий момент. Поэтому отношение W/F может быть принято за критерий, оценивающий качество профиля.
Основываясь на этом критерии (или просто обратив внимание на то, какая часть материала расположена вблизи нейтральной линии), легко убедиться, что тонкостенное сечение рациональнее сплошного круглого.
Все формулы настоящего пункта получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу, так как поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются; продольные волокна взаимодействуют друг с другом, давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном, а в плоском напряженном состоянии. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечениях кроме М действует еще N и Q, можно пользоваться формулами, выведенными из чистого изгиба. Погрешность при это м получается весьма незначительной.
8.3 Пример решения экзаменационной задачи.
Для заданной балки построить эпюры Q и M. Подобрать размер а заданного сечения при известных [σ], q, l
Рисунок 3.10 - Пример
Определим неизвестные опорные реакции.
Проверка:
Проведем сечения на каждом участке заданной балки.
Запишем уравнение и построим эпюру Q
Запишем уравнение и построим эпюру M:
Запишем условия прочности при изгибе
Mmax – наибольший изгибающий момент по абсолютной величине, берется из эпюры M, в нашем случае Mmax = 0,5ql2
- момент сопротивления сечения
- допустимое напряжение, наибольшее безопасное напряжение для данного материала.
