Глава 8 Расчеты на прочность при изгибе.
Изгиб называется прямым, если плоскость действия сил совпадает с одной из главных центральных осей сечения.
Изгиб называется поперечным, если в произвольном сечении возникает 2 внутренних сил: поперечная сила Q и изгибающий момент М.
Изгиб называется чистым, если в произвольном сечении возникает только изгибающий момент М (Q = 0).
8.1 Определение напряжений при чистом изгибе.
Проведем поперечное сечение на произвольном расстоянии от начала координат (рис. 6.1). В плоскости сечения проведем координатные оси у, х и z: ось у совместима с силовой линией (линией пересечения силовой плоскости с плоскостью сечения), а ось х проведем на произвольной пока высоте, но перпендикулярно к оси у. Ось z направим перпендикулярно к плоскости сечения.
Рисунок 8.1
Т.к. при чистом изгибе возникает только момент Мх, то в данном сечении могут возникнуть только нормальные напряжения, поэтому из шести интегральных уравнений равновесия выпишем те, которые содержат
σ. (см. пункт 3.1 формулы (2), (5), (6)).
|
(2) |
|
(5) |
|
(6) |
Т.к. N = 0, My = 0, Mx = M при чистом изгибе, то:
|
(7) |
|
(8) |
|
(9) |
Интегралы 7 – 9 могут быть использованы, если выполняется гипотеза плоских сечений, поэтому рассмотрим балку с нанесенной на нее сеткой.
а)
б)
Рисунок 8.2 – Гипотеза плоских сечений
При изгибе верхние волокна «а» находятся в зоне растяжения, а волокна «с» - в зоне сжатия. Между зоной растяжений и сжатия обязательно существует волокно, которое не испытывает ни того, ни другого. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем. Волокна, принадлежащие нейтральному слою, до деформации лежат в одной плоскости, а в деформированном состоянии образуют некоторую цилиндрическую поверхность. В обоих случаях каждое поперечное сечение пересекается с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной линией сечения.
При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным к силовой плоскости, а значит, нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии в сечении. Будем считать, что ось х проведена в сечении так, что она совпадает с нейтральной линией (но положение последней по высоте сечения пока неизвестно).
ρ – радиус кривизны нейтрального слоя
.
Вертикальные сечения 1-1, 2-2 остаются
плоскими, но поворачиваются относительно
друг друга на некоторый угол, поэтому
можно пользоваться формулами (7) - (9),
т.к. гипотеза плоских сечений выполняется.
Рассмотрим балку в состоянии чистого изгиба. Двумя сечениями ab и cd вырежем элементарный элемент длиной dz (рис. 8.3 б)
а) б)
Рисунок 8.3 – Чистый изгиб
Рассмотрим выделенный элемент abcd (рис.
8.3 а). Пусть сечение ab условно неподвижно,
а сечение cd повернется относительно ab
на некоторый угол dθ. При этом cd займет
положение
.
mn – нейтральный слой с
радиусом ρ. Выделим произвольное волокно
ef на расстоянии у от оси z
и найдем его относительную деформацию:
|
(10) |
Подставим (10) в закон Гука при растяжении:
|
(11) |
Подставим (11) в интеграл (8), следовательно:
|
(12) |
|
(13) |
(13) – формула кривизны нейтрального слоя.
Подставим (13) в (11):
|
(14) |
где М – внутренний изгибающий момент, который берется из эпюры М.
Ix – осевой момент инерции относительно нейтральной оси сечения.
у – расстояние от оси х до точки, в которой находится σ.
Выясним, какое место занимает х в произвольном сечении, для этого подставим (11) в (7) и (9):
поэтому ось х является центральной.
значит ось х является главной осью
Ось х является главной центральной осью любого сечения.
Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная линия сечения совпадает с другой главной центральной осью. Иначе говоря, если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей стержня, то нейтральный слой совпадает с другой главной плоскостью.
Формула (13) в проведенном выводе была вспомогательной, однако она имеет и большое самостоятельное значение. Её можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя l/ρ) с действующим в сечении моментом. Произведение EJ носит название жесткости сечения при изгибе, Н*м2. Из формулы (13) видно, что если балка изготовлена из однородного материала (E = const) и имеет постоянное сечение (J = const), то при чистом изгибе (М = const) ось ее искривляется по дуге окружности (l/ρ = const, и, значит, ρ = const).