4.2 Определение напряжений при растяжении и сжатии.

Т.к. при растяжении и сжатии возникает одно внутреннее усилие, то для определения напряжений используют интегральное уравнение (2)

(2)

(8)

Формула (8) может быть использована, если выполняется гипотеза плоских сечений. Для проверки выполнимости этой гипотезы рассмотрим растяжение образца произвольного сечения с нанесенной на него сеткой. Из уравнения (8) нельзя определить величину σ, так как закон распределения последних в точках поперечного сечения не известен.

Рисунок 4.2 – Исходное состояние

Рисунок 4.3 – При растяжении

При наблюдении деформации растяжения стержня, на поверхности которого нанесены линии, перпендикулярные к оси бруса (рисунок 4.3), можно отметить, что эти линии, смещаясь параллельно самим себе, остаются прямыми и перпендикулярными к оси бруса. Предполагая, что указанная картина перемещения сечений имеет место и внутри стержня, приходим к гипотезе плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после нее, перемещаясь поступательно вдоль оси стержня. Разобьем теперь стержень на продольные (параллельные оси стержня) элементы бесконечно малых поперечных сечений и будем в дальнейшем называть их волокнами. На основании гипотезы плоских сечений следует заключить, что все волокна удлиняются на одну и туже величину и их относительные удлинения ε одинаковы.

- относительная деформация

Деформация (удлинение) называется упругой, если она исчезает при снятии нагрузки и в этом случае выполняется пропорциональная зависимость между напряжением и относительной деформацией, которая записывается в виде закона Гука:

(9)

Здесь: σ – нормальное напряжение;

Е – модуль упругости – величина постоянная для данного материала, определяется из справочников.

Вывод:

, т.к. при растяжении все волокна удлиняются одинаково.

, (т.к. ),

, значит σ можно вынести за знак интеграла (8).

(10)

Напряжение – это величина усилия на единицу площади поперечного сечения. Знак напряжения зависит от знака продольной силы в рассматриваемом сечении. В случае сжатия напряжения считают отрицательным.

Отметим, что формула (10) справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений носит сложный характер и требует более точных методов исследования.

Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории упругости широко пользуются следующим весьма важным положением, носящим название принципа Сен-Венана: если тело нагружается статически эквивалентными системами сил, т.е. такими, у которых главный вектор и главный момент одинаковы, и при этом размеры области приложения нагрузок невелики по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от способа нагружения. Общего теоретического доказательства принцип Сен-Венана не имеет, но его справедливость подтверждается многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями.