Сокращение дробей, примеры
Одной из типовых задач является задача на сокращение дробей.
Пример 5 – сократить дробь:
Отметим
некоторые ограничения.
Для того чтобы существовали
заданные корни, необходимо
выполнение условий: 
.
Для того чтобы существовала
дробь: 
.
Преобразуем числитель дроби:
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Поскольку мы заранее оговорили, что знаменатель не равен нулю, т. е. , имеем право сократить дробь:
Пример 6:
В данном случае также нужно воспользоваться формулой сокращенного умножения.
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Чтобы иметь право сократить дробь, оговорим, что знаменатель ее не должен быть равен нулю, для этого х и у не должны одновременно быть равны нулю, тогда получаем ответ:
Преобразование сложных корней к простому виду
Пример
7 – преобразовать выражение
к виду 
:
Внесем двойку под кубический корень:
Согласно теореме о взятии корня из корня, перемножим показатели корней:
Согласно теореме о корне из произведения, получим:
Пример 8:
Постепенно вносим множители под знак внутреннего корня и перемножаем показатели корней:
Пример 9 – упростить выражение:
Представим все составные числа в виде простых чисел:
В результате преобразований получили выражение:
Решение более сложных примеров
Пример 10 – вычислить:
В знаменателе стоит выражение, распишем его по формуле квадрата разности:
После преобразования получаем дробь:
Вынесем в знаменателе минус за знак дроби:
Уравнения с радикалами, типы, примеры решения
Важно уметь решать уравнения с радикалами, рассмотрим первый тип таких уравнений.
Чтобы
не потерять при решении корни
и не приобрести новых корней,
следует наложить некоторые
ограничения. В первую очередь
ОДЗ: 
.
Далее:
Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.
Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.
Второй тип уравнений:
Укажем область определения. ОДЗ:
Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:
Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:
или
Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.
Рассмотрим конкретные примеры уравнений.
Пример 6:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Решаем полученную систему:
Ответ:
Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:
Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.
Проиллюстрируем сказанное:
Рис.
1. Графики функций 
и 
Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.
Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.
Пример 7:
Имеем эквивалентную систему:
Решаем полученную систему:
Ответ: 
Пример 8:
В данном случае удобно выполнить замену переменных.
Обозначим 
,
возведем в квадрат, получаем:
Получаем уравнение:
Не
теряем при этом ограничение: 
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:
или 
Лишний корень отбрасываем, остается
Таким
образом, 