Теорема о корне из корня n-й степени, доказательство, примеры

Если а – неот­ри­ца­тель­ное число, n и k – на­ту­раль­ные числа, боль­шие еди­ни­цы, то спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы из­влечь ко­рень из корня, до­ста­точ­но пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ней.

Дано: 

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Вве­дем новые пе­ре­мен­ные:

В новых вы­ра­же­ни­ях нужно до­ка­зать, что  . Рас­смот­рим ра­вен­ство  . По опре­де­ле­нию корня,  . Воз­ве­дем обе части по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния в сте­пень k: 

Из вы­ра­же­ния  , по опре­де­ле­нию корня, 

По­лу­ча­ем:

Неот­ри­ца­тель­ные числа воз­во­дят­ся в рав­ную на­ту­раль­ную сте­пень, от­сю­да по­лу­ча­ем ра­вен­ство ос­но­ва­ний сте­пе­ней:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

До­ка­жем дан­ную тео­ре­му, ос­но­вы­ва­ясь толь­ко на опре­де­ле­нии корня n-й сте­пе­ни. Таким об­ра­зом, если в вы­ра­же­нии   мы воз­ве­дем левую часть в сте­пень   и по­лу­чим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, т. е. а, тео­ре­ма будет до­ка­за­на.

Разъ­яс­ним тео­ре­му 4 на кон­крет­ных при­ме­рах.

При­мер 3 – вы­чис­лить:

С дру­гой сто­ро­ны

При­мер 4:

Обзор свойств корня n-й степени, примеры

Сде­ла­ем обзор свойств корня n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа.

, при   (тео­ре­ма 1);

, при   (тео­ре­ма 2);

, при   (тео­ре­ма 3);

, при   (тео­ре­ма 4).

Из тео­ре­мы 4 есть важ­ное след­ствие: 

Сле­ду­ет из­бе­гать ти­пич­ных оши­бок, об­ра­тим на них вни­ма­ние:

, на­при­мер  .

Пе­рей­дем к ре­ше­нию при­ме­ров.

При­мер 5 – вы­чис­лить:

При­мер 6:

При­мер 7:

Типовые ошибки и важные соотношения

Чтобы из­бе­жать рас­про­стра­нен­ных ти­по­вых оши­бок, об­ра­тим вни­ма­ние на неко­то­рые мо­мен­ты.

Верно ли, что:

 при 

Невер­но, т. к., на­при­мер, при   по­лу­ча­ем невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство  .

 при 

Невер­но, т. к., на­при­мер, при   по­лу­ча­ем невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство  .

В дан­ном слу­чае верна фор­му­ла:

:

При­ве­ден­ная фор­му­ла спра­вед­ли­ва для лю­бо­го чет­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни.

Для нечет­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни имеем сле­ду­ю­щую фор­му­лу:

При­ве­дем еще одну важ­ную фор­му­лу:

 Вынесение множителя из под знака корня, примеры

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию ти­по­вых задач. Пер­вый тип задач – вы­не­се­ние мно­жи­те­ля из-под знака корня.

При­мер 4:

При­мер 5:

При­мер 6:

При­мер 7:

Ком­мен­та­рий: по­сколь­ку а стоит под квад­рат­ным кор­нем в нечет­ной сте­пе­ни, то дан­ная пе­ре­мен­ная неот­ри­ца­тель­на, имеем право снять с нее мо­дуль.

При­мер 8:

При­мер 9:

 Внесение множителя под знак корня, примеры

Сле­ду­ю­щий тип задач – вне­се­ние мно­жи­те­ля под знак корня.

При­мер 10:

При­мер 11:

При­мер 12:

При­мер 13:

При­мер 14:

Решение элементарных уравнений

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний.

При­мер 15:

Мы знаем, что:

Со­глас­но усло­вию 

Имеем:

, от­сю­да 

Ответ: 

При­мер 16:

Мы знаем, что:

Со­глас­но усло­вию 

Имеем:

, от­сю­да 

Ответ: 

При­мер 17:

Оче­вид­но, что в дан­ном слу­чае t может при­ни­мать любые зна­че­ния.

Ответ: 

При­мер 18:

Ответ: 

 Упрощение выражений, примеры

При ре­ше­нии задач мы поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем и свой­ства­ми корня n-й сте­пе­ни.

При­мер 1 – упро­стить и вы­пол­нить дей­ствия:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

Мы видим ос­нов­ной прин­цип ре­ше­ния по­доб­ных задач: если под кор­нем стоит со­став­ное число, нужно раз­ло­жить его на про­стые мно­жи­те­ли, и тогда, воз­мож­но, будет легко за­ме­тить ре­ше­ние за­да­чи.

При­мер 2:

Раз­ло­жим со­став­ное число 486 на про­стые мно­жи­те­ли:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

При­мер 3 – вы­пол­нить умно­же­ние:

Оче­вид­но, что для ре­ше­ния дан­но­го за­да­ния необ­хо­ди­мо при­ме­нить фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния, а имен­но:   – фор­му­ла раз­но­сти квад­ра­тов.

В нашем слу­чае  ,  , по­лу­ча­ем:

При­мер 4 – вы­пол­нить умно­же­ние:

В дан­ном слу­чае нужно за­ме­тить дру­гую фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния:   – сумма кубов;

В нашем слу­чае  ,  , по­лу­ча­ем:

Ком­мен­та­рий: по­сколь­ку в за­дан­ном при­ме­ре пе­ре­мен­ные х и у сто­я­ли под квад­рат­ным кор­нем, то они неот­ри­ца­тель­ны, зна­чит, имеем право снять мо­дуль.