Решение более сложных иррациональных уравнений
Пример:
Решаем первым способом:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно
первому условию отбрасываем
лишний корень, получаем
ответ 
.
Рассмотрим пример уравнения на корень нечетной степени:
Возводим обе части в куб:
Разложим выражение на множители:
7x(х2 - 1) = 7х(х - 1)(х + 1) = 0
Приравняв
каждый множитель к нулю,
получаем корни заданного
уравнения: 
, 
, 
Определение корня n-й степени, арифметический корень
Напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, 
,
т. к. 
;
,
т. к. 
Неотрицательный корень n-й степени из неотрицательного числа а называют арифметическим корнем.
–
арифметический
корень;
Напомним
геометрический смысл корня
n-й степени из неотрицательного
числа. Рассмотрим функцию 
на
множестве всех действительных
значений (рисунок 1) и только
для неотрицательных х
(рисунок 2).
Рис. 1. График функции
Рис. 2. График функции на множестве
С рассматриваемыми функциями, как и с любой другой функцией, связаны две задачи – прямая (по заданному значению х найти у) и обратная (по заданному значению у определить х).
В
случае, когда функция
рассматривается для всех
значений х, уравнение
вида 
имеет
два корня: 
,
т. е. функция приобретает
любое свое значение при двух
противоположных значениях
аргумента.
В
случае же, когда рассматриваются
только неотрицательные
значения х, уравнение
вида
имеет
единственный корень: 
,
т. е. функция приобретает
любое свое значение при одном
значении аргумента,
которое называют
арифметическим корнем.
Свойства этого корня мы и будем
изучать.
Теорема о возведении корня в степень, доказательство, примеры
Если а – неотрицательное число, k – любое натуральное число, n – натуральное число, большее единицы, то справедливо равенство:
Другими словами, чтобы возвести корень n-й степени в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Дано: 
Доказать:
Доказательство:
k штук
Преобразуем полученное выражение по теореме 1:
k штук k штук
Теорема доказана.
Докажем данную теорему, пользуясь определением корня.
Если
заданное равенство 
справедливо
и правая часть есть корень n-й
степени из 
,
то n-я степень выражения из
правой части равна подкоренному
выражению, т. е.
.
Проверим данное равенство:
Теорема доказана вторым способом.
Рассмотрим несложные примеры на применение теоремы 3.
Пример 1 – вычислить:
Пример 2:
