Определения корня n-й степени для четного и нечетного n
Напомним и прокомментируем основные определения.
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
,
где 
, 
Рис.
1. График функций 
и 
Уравнение
имеет 2 корня: 
и 
.
Данная функция, как и любая другая, преследует две задачи. Прямая задача: по заданному значению х, подставив его в функцию, найти значение у. Обратная задача: по заданному значению у (у только неотрицательное) определить значение х, при этом получаем два корня, один из которых неотрицательный и носит название арифметического корня.
Напомним
важное тождество: 
Рассмотрим примеры:
1. 
,
т. к. 
;
2. 
Мы рассмотрели корень четной степени из действительного числа, и в этом случае подкоренное число а обязано быть неотрицательным. Но оно может быть отрицательным в том случае, если степень корня нечетная.
Определение:
Корнем
нечетной степени из
отрицательного
числа а при 
называют
такое отрицательное число,
которое, будучи возведено
в степень n, дает в результате
число а.
Рис.
2. График функции
,
где 
Данная функция имеет единственное решение, то есть достигает любого своего значения при единственном значении аргумента, причем если значение функции отрицательное, то и соответствующее ему значение аргумента тоже отрицательное, и наоборот, положительному значению функции соответствует положительное значение аргумента.
Рассмотрим примеры:
,
т. к. 
;
2. 
,
т. к. 
;
Следствия из определений
Рассмотрим важные следствия из определений.
Следствие 1:
Корень четной степени неотрицателен и существует только от неотрицательного числа.
Примеры:
,
т. к. 
;
2. 
не
существует, т. к. 
;
3. 
,
нет решений, т. к. поскольку
существует выражение 
,
то оно неотрицательное; 4. 
,
т. к. 
;
Следствие 2:
Корень
нечетной степени существует
для любого действительного
числа а 
.
Примеры:
,
т. к. 
;
2. 
,
т. к. 
;
3. 
,
т. к. 
;
Определение иррационального уравнения, простейшие примеры
Рассмотренные определения и следствия применяются при решении различных задач, в том числе иррациональных уравнений.
Определение:
Уравнение, в котором под знаком корня содержится неизвестное, называется иррациональным.
Примеры:
1. 
, 
, 
;
ответ: 
;
2. 
;
ответ: 
;
3. 
ответ: 
4. 
;
ответ: 
Рассмотрим
более сложные выражения, а
именно уравнения вида 
.
Чтобы решать подобные уравнения,
нужно обе части возводить в
квадрат, но для этого нужно выполнение
некоторых условий и соблюдение
ограничений. Значение
квадратного корня должно
быть неотрицательным,
отсюда 
.
Подкоренное выражение
также должно быть неотрицательно,
т. е. 
.
После преобразования
получаем 
Исходя из последнего равенства выражение в эквивалентной системе излишне, таким образом, получаем эквивалентную для уравнения систему:
Получили смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенства. В подобных случаях решать неравенство необязательно, достаточно решить уравнение и его корни проверить по первому условию (неравенству).
Пример:
Решим первым способом, то есть с помощью эквивалентной системы:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно
первому условию отбрасываем
лишний корень, получаем
ответ 
.
Решим вторым способом, возведем обе части в квадрат, не накладывая никаких дополнительных условий:
Получили квадратное уравнение:
Корни данного уравнения мы уже определили:
Выполним проверку, подставив каждый корень в исходное уравнение:
Квадратный
корень не может иметь отрицательное
значение, значит, корень 
не
подходит, не является
решением заданного
уравнения.
Получили ответ:
Выполним небольшой анализ, чтобы в дальнейшем предостеречься от типовых ошибок.
а) 
,
т. е. из равенства квадратов
чисел еще не следует равенство
самих чисел;
б) 
,
т. е. из равенства квадратов
не всегда следует равенство
исходных чисел;
Вывод: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.