2. Уравнения прямой в пространстве

Одна и та же прямая линия может быть описана различными уравнениями.

2.1. Различные виды уравнений прямой в пространстве

Общее уравнение прямой имеет вид:

,

если прямая задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), имеет вид:

.

Каноническое уравнение прямой, т.е. уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и коллинеарной вектору :

,

– направляющий вектор прямой.

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и коллинеарной вектору :

.

Замечание. Если каждое из соотношений канонического уравнения приравнять к параметру t, то получим параметрические уравнения.

2. 2. Взаимное расположение прямых

Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями:

и .

Эти прямые заданы точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) и направляющими векторами и .

Углом  между этими прямыми называется угол между их направляющими векторами и :

.

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

.

Условие параллельности прямых имеет вид:

.

Рассмотрим случаи взаимного расположения прямых

1. Прямые сливаются
2. Прямые параллельны
3. Прямые пересекаются
4. Прямые скрещиваются

2. 3. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть даны прямая и плоскость , т.е. известны направляющий вектор прямой , координаты точки и нормальный вектор плоскости .

Углом  между прямой l и плоскостью  называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 3). Этот угол определяется по формуле:

.

Рис. 3

Условие параллельности прямой и плоскости:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Если прямая принадлежит плоскости, то должны выполняться два условия:

1) точка М₁ принадлежит плоскости: ,

2) условие параллельности прямой и плоскости.

3. Уравнения прямой на плоскости

3. 1. Различные уравнения прямой на плоскости

Уравнения прямой на плоскости представлены в табл. 1.

Таблица 1.

Тип уравнения	Формула	Примечание
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0, y0) перпендикулярно заданному вектору	A(x–x0)+B(y–y0)=0	, где – нормальный вектор прямой
Общее уравнение прямой	Ax+By+C=0
Уравнение прямой «в отрезках»		Отрезки a и b отсекает прямая на осях координат Ox и Oy
Каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0, y0) параллельно вектору		=(l; m), где – направляющий вектор прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0, y0) в заданном направлении	y–y0=k(x–x0)	k=tg – тангенс угла между прямой и положительным направлением оси Ох (рис. 4)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом	y=kx+b	k=tg , k – угловой коэффициент прямой (рис. 4)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x1, y1) и (x2, y2)		–

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1) C = 0  O  L;

2) A = 0  L || Ox;

3) B = 0  L || Oy;

4) A = C = 0  L  Ox;

5) B = C = 0  L  Oy.

Рис. 4