11.2 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание «а» по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью γ.

По данным выборки можно построить случайную величину Т= , которая имеет распределение Стьюдента с k=n-1степенями свободы. - выборочная средняя, S – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n- объем выборки.

Плотность распределение Стьюдента S(t,n)=B_n(1+ )^-n/2,где B_n= .

Распределение Стьюдента определяется параметром n – объем выборки или тоже самое числом степеней свободы k=n-1 и не зависит от неизвестных параметров а и σ.

Пользуясь распределением Стьюдента можно получить доверительный интервал -tS/ <a< +tS/ , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью γ. По таблице распределения Стьюдента по заданным n, γ можно найти t.

Пример 11.2.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с «исправленным» средним квадратическим отклонением S=0,8.

Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочной средней =20,2, если n=16, γ=0,95.

Решение:

Пользуясь таблицей распределения Стьюдента по γ=0,95 и n=16 находим t=2,13

20,2-2,13·0,8/ <a<20,2+2,13·0,8/

19,774<a<20,626.

11.3 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное среднее квадратическое отклонение σ по исправленному выборочному среднему отклонению S. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр σ с надежностью γ.

Доверительный интервал находим по формуле: S(1-q)<σ<S(1+q).

q находим по специальной таблице распределения χ=(S/σ) , где n объем выборки. Это распределение не зависит от оцениваемого параметра σ, а зависит лишь от объема выборки n.

Если q>1 то доверительный интервал принимает вид: 0<σ<S(1+q).

Пример 11.3.

Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение S=0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Решение:

По таблице приложения 4 по данным γ=0,95 и n=25 найдем q=0,32.

Искомый доверительный интервал таков:

0,8·(1-0,32)<σ<0,8·(1+0,32), или 0,544<σ<1,056.

12 Статистическая проверка статистических гипотез

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону A. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания пред­положить, что неизвестный параметр Θ равен определенному значению Θ₀, выдвигают гипотезу: Θ=Θ₀. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1. генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2. дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй - о параметрах двух известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза в частности, может состоять в предположении, что а≠10. Коротко это записывают так: Н₀: а=10; Н₁≠10.

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистиче­скими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отверг­нута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Для проверки нулевой гипотезы используют спе­циально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Обозначим эту величи­ну через К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение кри­терия.

Наблюдаемым значением К_набл называют значение кри­терия, вычисленное по выборкам.