9.2 Групповая и общие средние

Допустим, что все значения количественного при­знака X совокупности, безразлично генеральной или вы­борочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для средней всей совокупности.

Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифмети­ческой групповых средних, взвешенной по объемам групп.

Пример 9.1.

Найти общую среднюю совокупности, состоящей из сле­дующих двух групп:

группа	первая		вторая
Значение признака	1	6	1	5
Частота	10	15	20	30
Объем	10+15=25		20+30=50

Решение.

Найдем групповые средние:

= (10∙1+15∙6)/25=4;

= (20∙1+30∙5)/50=3,4.

Найдем общую среднюю по групповым средним:

=(25∙4+50∙3,4)/(25+50)=3,6.

Замечание. Для упрощения расчета общей средней совокуп­ности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.

9.3 Дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику - дисперсию.

Прежде чем дать определение дисперсии дадим определение отклонения от общей средней.

Рассмотрим совокупность, безразлично генеральную или выборочную, значений количественного признака Х объема n.

Отклонением называют разность между значением признака и общей средней.

Теорема 9.1.

Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю: .

Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х_в.

Если все значения x₁, х₂, .. ., х_п признака выборки объема п различны, то .

Если же значения признака x₁, х₂, ..., х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, причем n₁+n₂+ ...+n_k=n, то , т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Аналогично можно определить генеральную дисперсию .

Пример 9.2.

Выборочная совокупность задана таблицей распре­деления

x_i 1 2 3 4

n_i 20 15 10 5

Найти выборочную дисперсию.

Решение.

Найдем выборочную среднюю: _в= =2.

Найдем выборочную дисперсию: = =1.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристи­кой - средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выбороч­ной дисперсии: .

Вычисление дисперсии, безразлично - выборочной или генеральной, можно упростить, используя следую­щую теорему.

Теорема 9.2.

Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: .

Пример 9.3.

Найти дисперсию по данному распределению

x_i 1 2 3 4

n_i 20 15 10 5

Решение.

Выборочная средняя =2 из примера 9.2.

Найдем среднюю квадратов значений признака: = =5.

Искомая дисперсия =5-2²=1.