8 Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Пусть - статистическая оценка неизвестного пара­метра Θ теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема п найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую вы­борку того же объема и по ее данным найдем оценку . Повторяя опыт многократно, получим числа , , ..., , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ..., - как ее возможные значения.

Представим себе, что оценка дает приближенное значение Θ с избытком; тогда каждое найденное по дан­ным выборок число (i=1,2, ..., k) больше истинного значения Θ. Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины боль­ше, чем Θ, т. е. М( )>Θ. Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то М( )<Θ.

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения больше, а другие меньше Θ), однако ошибки разных знаков будут встречать­ся одинаково часто. Иными словами, соблюдение требова­ний М( )=Θ гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку , мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому пара­метру Θ при любом объеме выборки, т. е. М( )=Θ.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

К статистической оценке предъявляется требование эффек­тивности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (п великo) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, кото­рая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказы­вается и состоятельной.

9 Точечные оценки

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

9.1 Выборочная средняя

Пусть изучается дискретная выборочная совокуп­ность относительно количественного признака X.

Выборочной средней х_в называют среднее арифметичес­кое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, ..., х_n признака выборочной совокупности объема n различны, то .

Если же значения признака x₁, х₂, ..., х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, причем n₁+n₂+ ...+n_k=n, то , т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Аналогично можно определить генеральную среднюю .