15 Решение нулевого варианта

Для двух заданных выборок Х и Y

1. Определим точечные оценки:

- среднюю выборочную:

= =6,915;

=1429/2071,45;

- выборочную дисперсию

= = =3,46;

= =7606,95/20380,35;

- выборочное среднее квадратическое отклонение:

= 1,86;

= 19,5.

- исправленную дисперсию:

= = =3,64;

= =;

- исправленное среднее квадратическое отклонение.

=

=

2. составим интервальный ряд, число интервалов, возьмем равным 5.

R=x_max-x_min=10-3,2=6,8. m=5 – число интервалов, h=6,8/5=1,36- длина интервала.

Получаем ряд: 3,2-4,56 4,56-5,92 5,92-7,28 7,28-8,36 8,36-10

3 3 6 4 4

Построим гистограмму относительных частот, для этого определим относительные частоты W_i=n_i/20, и плотность относительных частот W_i/1,36.

Интервал 3,2-4,56 4,56-5,92 5,92-7,28 7,28-8,36 8,36-10

n_i 3 3 6 4 4

W_i 0,15 0,15 0,3 0,2 0,2

W_i/1,36 0,11 0,11 0,22 0,15 0,15

W_i/1,36

0,3

0, 2

0, 1

x

3,2 4,56 5,92 7,28 8,36 10

3. построить доверительные интервалы для:

математического ожидания: -t <a_x< +t .

Число t определяется из равенства: 2Ф(t)=. По таблице функции Лапласа находим аргумент t.

Пусть =0,9  2Ф(t)=0,9; Ф(t)=0,45  t=1,65.

6,915-1,65* <a_x<6,915+1,65* ; 6,915-0,686<a_x<6,915+0,686

6,229<a_x<7,601;

дисперсии: s²(1-q)²< < s²(1+q)²

q находим по таблице при =0,95 и n=20: q=0,37; =  =3,64; – исправленная дисперсия.

3,64*(1-0,37)²< <3,64*(1+0,37)²; 1,44< <6,82.

Среднего квадратического отклонения: s(1-q)< < s(1+q)

< _х< ; 1,2< _х<2,6;

4. Найдем выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость;

r= = =0,047.

проверим значимость парного коэффициента корреляции.

При уровне значимости =0,05 проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе Н₁:r_г0.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Т_набл=r / =0,047* / =0,199.

Т.к. альтернативная гипотеза имеет вид: r_г0, следовательно, критическая область – двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k=n-2=20-2=18 находим критическую точку t_кр(0,05;18)=2,1.

Т.к. < t_кр - нулевую гипотезу не отвергаем, другими словами, различие между нулем и коэффициентом корреляции, не значимо.

1. проверить гипотезы:

- о нормальном законе распределения случайной величины Х с помощью критерия Пирсона;

Вычислим теоретические частоты,

x_i- середина интервала.

Составим вспомогательную таблицу:

ui=(хi-xв)/

ni^’=nh/* f(ui )=15,2*f(ui). =1,283.

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k=m-3=5-3=2 находим критическую точку (0,05;2)=6.

Т.к. < - нулевую гипотезу не отвергаем, другими словами, различие между эмпирическими значениями и теоретическими не значимо, т.е. данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

. О равенстве математических ожиданий заданной величине m₀.

• При уровне значимости =0,05 проверим нулевую гипотезу Н₀: m=m_0x=6,6, при конкурирующей гипотезе Н₁: m6,6.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

U_набл=( -а₀) / =(6,915-6,6)* /1,86=0,76.

Т.к. альтернативная гипотеза имеет вид mm_0x, следовательно, критическая область – двусторонняя.

Находим критическую точку Ф(u _кр )=(1-)/2=(1-0,05)/2=0,475.

По таблице функции Лапласа находим u _кр=1,96.

Т.к. <u_кр, нулевую гипотезу не отвергаем, другими словами, выборочная и гипотетическая средние различаются не значимо.

О равенстве дисперсий заданной величине ( = ).

• При уровне значимости =0,01 проверим нулевую гипотезу Н₀: = =3,4, при конкурирующей гипотезе Н₁: >3,4.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

=(n-1)S²/ =(20-1)*3,64/3,4=20,34.

Т.к. альтернативная гипотеза имеет вид >3,4, следовательно, критическая область – правосторонняя.

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k=n-1=20-1=19 находим критическую точку (0,01;19)=36,2.

Т.к. < - нулевую гипотезу не отвергаем, другими словами, различие между исправленной дисперсией и гипотетическая генеральной дисперсией не значимо.

- о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей Х и Y ( = );

- о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Х и Y (m_x=m_y).

2. составить уравнение линейной регрессии.