13 Критерий согласия Пирсона

Ранее мы рассматривали случаи, когда закон распределения генеральной совокупности известен.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

13.1 Вычисление теоретических частот нормального распределения

Один из способов вычисления теоретических частот состоит в следующем:

1) по данным выборочной совокупности находят выборочную среднюю _в и выборочное среднее квадратическое отклонение известными способами;

2) находят отклонения от выборочной средней ;

3) находят точку ;

4) по таблице находят значение функции Гаусса в точке u_i, т.е. ;

5) находят теоретические частоты: , где n – объем выборки, h – разность между двумя соседними вариантами.

Пример 13.1.

Вычислить теоретические частоты нормального распределения:

xi	48	54	60	66	72
ni	14	36	34	12	3

Решение:

Найдем:

Выборочную среднюю:

= =(48∙14+54∙36+60∙34+66∙12+72∙3)/100=57,3.

Выборочное среднее квадратическое отклонение = ;

выборочная дисперсия: D= .

²=((48-57,3)²∙14+(54-57,3)²∙36+(60-57,3)²∙34+(66-57,3)²∙13+(72-57,3)²∙3)/100=

=34,83

Тогда  = ≈5,9.

Для нахождения теоретических частот составим расчетную таблицу:

xi	ni
48 54 60 66 72	14 36 34 13 3	-9,3 -3,3 2,7 8,7 14,7	-1,5763 -0,5593 0,4576 1,4746 2,4915	0,1145 0,341 0,3589 0,1354 0,018	12 35 37 14 2
сумма	100				100

= = .