12.6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности дисперсия известна

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и известна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению а₀. Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Требуется по выборочной средней устанавливать, значимо или незначимо различаются и а₀. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная средняя рас­сматриваемой совокупности равна гипотетическому значению а₀.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости α проверить нулевую гипотезу H₀: а=а₀ о равенстве генеральной средней а нормальной совокуп­ности с известной дисперсией σ² гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а≠а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия U_набл=( -a₀) /σ и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству: Ф(u_кр)=(1-α)/2.

Если |U_набл|<u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |U_набл|>u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а>а₀ критическую точку правосторонней критической области по равенству: Ф(u_кр)=(1-2α)/2.

Если U_набл<u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если U_набл>u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а<а₀ сначала находят критическую точку u_кр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области =-u_кр.

Если U_набл>-u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если U_набл<-u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.5.

Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=0,36 извлечена выборка объема n=36 и по ней найдена выборочная средняя =21,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: , приняв в качестве конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

=((21,6-21)· )/0,36=10.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область двусторонняя. Находим критическую точку Ф(u_кр)=(1-0,5)/2=0,475. По таблице функции Лапласа находим u_кр=1,96.

Так как U_набл>u_кр - нулевую гипотезу отвергают. Другими словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.

12.7. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности дисперсии неизвестны

Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия неизвестна (например, в случае малой выборки). Требуется по выборочной средней устанавливать, значимо или незначимо различаются и а₀. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная средняя рас­сматриваемой совокупности равна гипотетическому значению а₀.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости α проверить нулевую гипотезу H₀: а=а₀ о равенстве генеральной средней а нормальной совокуп­ности с неизвестной дисперсией гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а≠а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл=( -a₀) /s и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k).

Если |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |T_набл|>t_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а>а₀, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α (помещенному в нижней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n-1 находим критическую точку t_{правост. кр.} (α, k) правосторонней критической области.

Если Т_набл<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если T_набл>t_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а<а₀, сначала находят «вспомогательную точку» t_{правост.кр.}( , k) и полагают границу левосторонней критической области t_{левост. кр}=-t_{правост. кр}.

Если Т_набл>-t_{правост. кр} - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Т_набл<-t_{правост. кр} - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.6.

По выборке объема n=20, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя =16 и исправленное среднее квадратическое отклонение S=4,5. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: , при конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

=((16-15)· )/4,5=0,99.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область двусторонняя. Находим критическую точку по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости 0,05, помещенному в верхней строке таблицы t_{двуст. кр.}(0,05; 19)=2,09.

Так как |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются незначимо.