12.4 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n и m, извлеченным из этих сово­купностей, найдены исправленные выборочные средние и . Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние рас­сматриваемых совокупностей равны между собой: H₀:М(X)=М(Y).

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H₀:М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокуп­ностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁:М(X)≠М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия z_набл= , где , – выборочные средние, D(x), D(y) – дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству:

Ф(z_кр)=(1-α)/2.

Если |Z_набл|<Z_кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |Z_набл|>Z_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокуп­ностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)>М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия z_набл= , где , – выборочные средние, D(x), D(y) – дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице функции Лапласа найти критическую точку правосторонней критической области по равенству: Ф(z_кр)=(1-2α)/2.

Если Z_набл<z_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Z_набл>Z_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(Х)<М(Y), надо вычислить z_набл и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку» z_кр по равенству Ф(z_кр)=(1-2α)/2, а затем положить =-z_кр.

Если Z_набл>-z_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если

Z_набл <-z_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.3.

По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n=50 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =142 и =150. Генеральные дисперсии известны: D(x)=28,2, D(y)=22,8. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)<М(Y).

Решение:

Вычислим наблюдаемое значение критерия: Z_набл= =-8.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(X)<М(Y), поэтому критическая область – левосторонняя.

Найдем «вспомогательную точку» z_кр: Ф(z_кр)=(1-2α)/2=(1-2·0,01)/2=0,49. По таблице функции Лапласа находим z_кр=2,33. Следовательно, =-z_кр=-2,33.

Так как Z_набл<-z_кр - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная средняя значимо меньше выборочной средней .

12.5. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. В предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m. Прежде чем сравнить средние, следует, пользуясь критерием Фишера-Снедекора предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокуп­ностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)≠М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл= , где , – выборочные средние, , – исправленные дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n+m-2 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k) .

Если |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |T_набл|>t_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)>М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α (помещенному в нижней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n+m-2 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k) .

Если Т_набл<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если T_набл>t_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)<М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл и сначала надо найти «вспомогательную точку» t_{правост.кр.} (в силу симметрии распределения Стьюдента относительно нуля t_{левост.кр}=-t_{правост.кр}) так, как описано в правиле 2, и полагают t_{левост.кр}=-t_{правост кр}.

Если Т_набл>-t_{правост.кр} - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Т_набл<-t_{правост.кр} - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.4.

По двум независимым малым выборкам, объемы которых соответственно равны n=5 и m=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =3,3 и =2,48 и исправленные дисперсии =0,25 и =0,108. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁:М(X)≠М(Y).

Решение:

Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора.

Найдем наблюдаемое значение критерия: F_набл=0,25/0,108=2,31. Дисперсия значительно больше дисперсии , поэтому в качестве конкурирующей гипотезы примем гипотезу Н₁:D(X)>D(Y), значит критическая область – правосторонняя. Находим критическую точку

F_кр(0,05; k_l=4; k₂=5)=2,31.

Так как F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия: Т_набл= =3,27.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(X)≠М(Y), поэтому критическая область – двусторонняя.

Найдем критическую точку t_{двуст. кр.} (0,05; 9)=2,26.

Так как T_набл>t_кр - нулевую гипотезу отвергают. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.