12.2 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соот­ветственно равными n₁ и п₂, извлеченным из этих сово­купностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рас­сматриваемых совокупностей равны между собой: H₀:D(X)=D(Y).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину F= / .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀:D(Х)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсии нормальных совокуп­ностей при конкурирующей гипотезе Н₁:D(X)>D(Y), надо вычислить отношение большей исправленной диспер­сии к меньшей, т. е. F_набл= / и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ - число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку правосторонней критической области F_кр(α; k_l,k₂).

Если F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве гене­ральных дисперсий нормально распределенных совокуп­ностей при конкурирующей гипотезе H₁:D(Х)≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дис­персии к меньшей, т. е. F_набл= / и по таблице кри­тических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньшем заданного) и чис­лам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку двусторонней критической области F_кр(α/2; k_l,k₂).

Если F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.1.

По двум независимым выборкам объемов n₁=12 и n₂=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =11,41 и =6,52. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н₁:D(X)≠D(Y).

Решение:

Проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H₀:D(Х)=D(Y). Найдем наблюдаемое значение критерия: F_набл=11,41/6,52=1,75. Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁:D(X)≠D(Y), значит критическая область – двусторонняя. Находим критическую точку

F_кр(0,1/2=0,05; k_l =12-1=11; k₂=15-1=14)=2,56.

Так как F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

12.3 Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и известна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рас­сматриваемой совокупности равна гипотетическому значению .

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H₀: о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокуп­ности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k=n-1 найти критическую точку правосторонней критической области .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H₀: о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокуп­ности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия , и по таблице критических точек распределения найти левую критическую точку и правую критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: , находят критическую точку .

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.2.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная =14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: , приняв в качестве конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Проверим нулевую гипотезу H₀: .

Найдем наблюдаемое значение критерия:

=((13-1)·14,6)/12=14,6.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область правосторонняя. Находим критическую точку =26,2.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией и гипотетической генеральной дисперсией – незначимое.