1. Решить игру аналитическим и геометрическим способами:

Решение:

a) Обозначим чистые стратегии игроков , и через , , , , , соответственно. Проверим игру на наличие седловой точки:

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим :

Выберем максимальное из этих значений - это будет нижняя цена игры :

Аналогично для второго игрока: найдем максимальные значения выигрыша по столбцам: , и минимальное из этих чисел - это верхняя цена игры :

Представим в виде таблицы:

	5	3	4	1	1
	-4	4	2	4	-4
	5	4	4	4

Так как , то делаем вывод, что игра не имеет седловой точки.

Для каждого игрока выигрыш не превышает , а проигрыш не меньше .

Упростим матрицу: второй столбец доминирует над четвертым и его можно исключить:

Решение будем искать в смешанных стратегиях:

Сначала избавимся от отрицательных чисел: (добавим к каждому члену 4):

В соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует всегда: и

Функция (исследуется на максимум),а (на минимум)

Решая данные системы, имеем:

б) Геометрический способ

На плоскости введём систему координат и на оси отложим отрезок единичной длины , каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 . В частности, точке отвечает стратегия , точке – стратегия и т.д.

В точках и восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии , а на втором – при стратегии .

Ответ: ,,

2.Решить задачу линейного программирования геометрическим способом:

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу построим многоугольник решений. Для его построения проводим следующие прямые:

(они будут являться границами многоугольника).

С помощью пробной точки - (0,0), например, - определим полуплоскости, задаваемые этими прямыми. И в пересечении соответствующих полуплоскостей получим многоугольник решений – в данном случае, треугольник АВС.

Для нахождения минимального , построим из начала координат вектор и перпендикулярную ему линию уровня , т.е. прямую

Далее передвигаем линию уровня в направлении вектора параллельно самой себе:

В первой пересекаемой вершине – в нашем случае, вершине А, - и получаем наименьшее значение .

Точка А – это точка пересечения прямых и :

Вычислим значение :

Это и будет минимальное значение

Ответ: ,

3. Имеются по три пункта поставки и потребления однородного груза с данными возможностями и потребностями и матрицей тарифов доставки груза. Найти оптимальный план перевозки груза.

	B1	B2	B3	ai
A1	2	3	5	200
A2	2	3	6	140
A3	3	4	7	100
bi	120	200	180

Решение:

Необходимо перевозки спланировать так, чтобы :

Вместе с тем должны удовлетворять ограничениям:

(1)

Вычислим и .

так как , то спрос не будет полностью удовлетворен, и :

(2)

Также (3)

Так как , то имеем открытую модель транспортной задачи. Такая модель решается приведением к закрытой модели.

Вводим фиктивного поставщика , возможности которого

Составляем опорный план: (методом минимального значения)

m+n-1=6

	V1		V2		V3		ai
U1=0	120	2		3		5	200
			80
U2		2		3	20	6	140
			120
U3		3		4		7	100
					100
U4		0		0		0	60
					60
bi	120		200		180

Определяем U₁=0, и из условия находим:

	V1=2		V2=3		V3=6		ai
U1=0	120	2		3	-1	5	200
			80
U2=0		2		3	20	6	140
	0		120
U3=1		3		4		7	100
	0		0		100
U4=-6		0		0		0	60
	4		3		60
bi	120		200		180

Тогда

Анализируя, видим, что третий потребитель получает 60 единиц от фиктивного продавца, т.е. его потребности не будут удовлетворены полностью.

Ответ: