4.3.2. Проецирующие плоскости
П
роецирующая
плоскость -
плоскость, перпендикулярная
какой-либо
плоскости проекций.
Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей плоскостью (рис. 4.6).
Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей плоскостью (рис. 4.7).
Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей плоскостью (рис. 4.8).
4.4. Принадлежность прямой и точки плоскости
П
рямая
принадлежит плоскости,
если выполняется одно из следующих
условий:
Прямая проходит через две точки, принадлежащие плоскости.
На рис. 4.9 прямая В-1 ABC, т.к. В ABC и 1 ABC.
2. Прямая проходит через одну точку этой плоскости и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной.
На рис. 4.9 прямая m ABC, т.к. C ABC и m ║ AB.
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.
На рис. 4.9 точка D ABC, т.к. D В-1 и В-1 ABC.
4.5. Главные линии плоскости
4.5.1. Линии уровня плоскости
Линии уровня плоскости - прямые, принадлежащие заданной плоскости и параллельные какой - либо плоскости проекций.
Г
оризонталь
плоскости
- прямая,
принадлежащая плоскости и параллельная
горизонтальной плоскости проекций. На
рис. 4.10 – прямая h.
Фронталь плоскости - прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. На рис. 4.10 – прямая f.
Профильная прямая плоскости - прямая, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций. На рис. 4.10 – прямая w.
4.5.2. Линии наибольшего наклона плоскости
Прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к ее горизонтали (фронтали, профильной прямой) называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций Н (V или W).
Линиями наибольшего наклона плоскости пользуются для определения угла наклона плоскости к плоскостям проекций.
Вопросы для самоконтроля
1. Перечислите способы задания плоскости.
2. Что называют следом плоскости?
3. Как определить положение плоскости относительно плоскостей проекции?
4. Как определить принадлежность точки заданной плоскости?
5. Как определить принадлежность прямой заданной плоскости?
6. Какие главные линии плоскости вы знаете?
7. Плоскость α, заданная треугольником АВС, . . .
- фронтальная
- фронтально-проецирующая
- общего положения
-горизонтальная
-профильная
8. Плоскость α, заданная следами, . . .
- фронтальная
- профильно-проецирующая
- общего положения
- горизонтальная
- профильная
9. Плоскость α, заданная следами, . . .
- фронтально-проецирующая
- горизонтально-проецирующая
- общего положения
- горизонтальная
- профильная
10. Плоскость α, заданная пересекающимися прямыми а и в, . . .
-
фронтальная
- профильно-проецирующая
- общего положения
- горизонтальная
- профильная
11. Плоскость α, заданная треугольником АВС, . . .
-
фронтальная
- профильно-проецирующая
- общего положения
- горизонтальная
- профильная
12. Плоскость α, заданная треугольником АВС, . . .
-
фронтально-проецирующая
- фронтальная
- общего положения
- горизонтальная
- профильная
13. Плоскости α, заданной треугольником KMN, принадлежит точка . . .
- А
- В
- С
- Д
- Е
14. Плоскости α, заданной треугольником KMN, принадлежит точка . . .
- А
- В
- С
- Д
- Е
15. Горизонталью плоскости α, заданной параллельными прямыми а и в, является прямая . . .
- с
- d
- m
- n
ЗАНЯТИЕ 4
5. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Позиционные задачи - это задачи, решение которых дает ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических фигур.
5.1 УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
1. Прямые параллельны, если параллельны их одноименные проекции.
2. Прямая а параллельна плоскости α, если в плоскости α можно провести прямую в, параллельную а.
3. Плоскости параллельны, если две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости.
5.2. УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
1. Прямые перпендикулярны, если одну из них можно заключить в плоскость, перпендикулярную другой прямой.
2. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.
3. Плоскости перпендикулярны, если одна их них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.
5.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
5
.3.1.
Пересечение прямой с плоскостью частного
положения
Результатом пересечения прямой и плоскости является точка, принадлежащая одновременно и прямой и плоскости.
На рис. 5.1 даны плоскость ABC и прямая l. Построим точку их пересечения К. Плоскость является фронтально-проецирующей и проецируется на фронтальную плоскость проекций в прямую линию. Следовательно, на пересечении А′′В′′С′′ и l′′ находится проекция искомой точки пересечения К′′. Из К′′ проведем линию связи до l′, найдем К′, т.к. К l.
При взгляде на фронтальные проекции прямой и плоскости сверху очевидно, что прямая l в направлении от К к А находится под плоскостью, поэтому часть ее горизонтальной проекции является невидимой и проведена штриховой линией.
Определение видимости точек, линий, плоскостей.
При определении видимости условно считают, что плоскость непрозрачна.
Анализ видимости линий проводят путем анализа видимости конкурирующих точек. Конкурирующие точки - это точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают (на рис. 5.1 – точки 1, 2).
При определении видимости на горизонтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки сверху и определяют, какая точка или линия находится выше. На рис. 5.1 точка 1 находится выше, чем точка 2. Следовательно, правый участок прямой l до точки пересечения К находится над плоскостью ABC и является видимым.
При определении видимости на фронтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки снизу и определяют, какая точка или линия находится ближе к наблюдателю.