10. Развертки поверхностей

10.1 Общие сведения о развертках

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок.

Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.

Свойства разверток поверхностей

Основные свойство: каждой точке на поверхности соответствует точка на развертке и наоборот.

На основании этого можно сформулировать следующее:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и развертки равны между собой.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствует прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствует также параллельные прямые на развертке.

10.2. Развертки гранных поверхностей

Развертка гранной поверхности - плоская фигура, составленная из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения разверток гранных поверхностей:

1. Способ триангуляции (треугольников);

2. Способ нормального сечения;

3. Способ раскатки.

10.2.1. Способ триангуляции (треугольников)

Способ применяется для построения развертки пирамидальных поверхностей. Сущность способа: последовательное совмещение всех граней пирамиды, которые представляют собой треугольники, с плоскостью.

Построим развертку поверхности пирамиды (рис 10.1), в основании которого лежит правильный треугольник АВС с вершиной S. Определим натуральную величину ребер. В данном случае SА=SВ=SС. На рис 10.1 показано определение натуральной величины ребра SА с помощью способа вращения его вокруг оси i, перпендикулярной плоскости V. Таким образом, натуральная величина ребер равна S′А₁′. Поскольку основание пирамиды параллельно плоскости Н, то его натуральная величина есть А′В′С′.

Приступим к построению развертки. Для этого из произвольной точки S₀ проводят произвольную прямую и откладывают на ней величину ребра пирамиды S₀А₀ = S′А₁′. Из точки S₀ проводят дугу радиусом r = AB= А′B′, а из S₀ – дугу R = SB = SA = S′А₁′. Пересечение дуг укажет положение B₀. Аналогично находятся точки С₀ и А₀. Соединив полученные точки S₀А₀B₀С₀А₀, получим развертку боковой поверхности пирамиды. Чтобы получить полную развертку поверхности, достроим основание А₀B₀С₀ = А′В′С′.

Рис. 10.1

10.2.1. Способ нормального сечения

Способ применяется для построения развертки призматических поверхностей при условии, если ребра призмы, параллельны какой-либо плоскости проекций. Если ребра занимают произвольное положение, то перед построением развертки следует преобразовать чертеж.

При способе нормального сечения алгоритм построения развертки следующий:

1. пересечь призматическую поверхность вспомогательной плоскостью, перпендикулярной к ее ребрам, в результате чего получится некоторое сечение;

2. определить натуральную величину полученного сечения;

3. в произвольном месте чертежа провести произвольную прямую, на которой отложить отрезки, конгруентные сторонам сечения;

4. провести перпендикуляры, соответствующие ребрам призмы и на них отложить их натуральную величину.