9. Пересечение поверхностей
9.1 Общие сведения о пересечении поверхностей
Результатом пересечения поверхностей является кривая, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям.
В общем случае линию пересечения двух поверхностей строят по точкам, которые нахоят с помощью вспомогательных секущих поверхностей (или плоскостей).
Сформулируем общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:
выбирают вид вспомогательных секущих поверхностей;
строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;
находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой плавной кривой.
Вспомогательные секущие поверхности выбирают таким образом, чтобы в пересечении их с заданными поверхностями получались графически простые линии (прямые или окружности).
При построении точек линии пересечения поверхностей вначале находят характерные или опорные точки, т.е. самую высокую и низкую или самую левую и правую.
Самый простой вид вспомогательной секущей поверхности – плоскость. Рассмотрим метод секущих плоскостей при решении задач.
9.2. Построение линии пересечения поверхностей методом секущих плоскостей
Рассмотрим применение данного метода на примере построения линии пересечения полусферы с прямым круговым конусом (рис. 9.1).
В
качестве вспомогательных секущих
плоскостей удобно использовать несколько
горизонтальных плоскостей (на рис. 9.2 –
фронтальные следы плоскостей V
и βV),
т.к. в пересечении таких плоскостей с
каждой заданной поверхностью (полусферой
и конусом) получатся простые линии –
окружности.
Построение начинают с отыскания характерных точек. 1″, 2″, 3″ - проекции самой высокой и низких точек, т.к. являются точками пересечения фронтальных проекций
очерков, а центр полусферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. Проекцию самой высокой точки 1′ находят, как принадлежащую очерковым образующим поверхностям. Проекции самых низких точек 2′ и 3′ строят по условию принадлежности основаниям полусферы и конуса.
Теперь обе поверхности пересечем секущими плоскостями, расположенными между точками 1 и 2, 3.
Плоскость пересекает поверхности по окружностям n и m. Точки пересечения этих окружностей n ∩ m = 4, 5. 4 и 5 принадлежат одновременно и полусфере и конусу, а следовательно и принадлежат линии пересечения этих поверхностей.
Проведя аналогичные действия с плоскостью β, получим точки 6 и 7.
Соединим построенные точки плавной линией с помощью лекала.
9.3. Построение линии пересечения поверхностей, когда одна из них проецирующая
Проецирующая поверхность - это поверхность, образующие или ребра которой перпендикулярны какой - либо плоскости проекций. Например: прямой круговой цилиндр, четырехгранная призма.
В этом случае одна из проекций линии пересечения имеется на чертеже в готовом виде и совпадает с проекцией проецирующей поверхности. Вторая проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности точек этой линии другой, непроецирующей поверхности.
Р
ассмотрим
построение линии пересечения данного
случая на примере полусферы с прямым
круговым цилиндром (рис. 9.3). Цилиндр
занимает горизонтально-проецирующее
положение, поэтому на чертеже имеем уже
готовую горизонтальную проекцию линии
пересечения – она совпадает с
горизонтальным очерком цилиндра (рис.
9.4). Выберем на ней сначала характерные
точки, затем при необходимости
промежуточные:
1, 2 – крайние левая и правая точки;
3, 4 – ближайшая и самая дальняя точки;
5, 6 – самая низкая и высокая точки, лежат в плоскости симметрии объектов, проходящей через центр и ось вращения;
Рис 9.4
7, 8 – находятся на главном меридиане сферы, их фронтальные проекции - на фронтальном очерке сферы;
9, 10 – их профильные проекции находятся на профильном очерке сферы.
Фронтальную проекцию линии пересечения построим исходя из условия принадлежности точек этой линии и сфере. Например, точка 5 принадлежит с одной стороны образующей цилиндра, с другой стороны – окружности сферы. Проведя горизонтальные проекции этих линий, построим их фронтальные проекции, пересечение которых даст 5″. Аналогично строятся проекции остальных точек.