Задача 6

Условие задачи: Построить линию пересечения горизонтально проецирующей призмы KMNKMN с пирамидой SABCD. Определить видимость линии пересечения и ребер многогранников (приложение 4).

Общие указания: задачу необходимо выполнить на двухкартинном чертеже простым карандашом на половине формата А3 в масштабе 1:1 совместно с задачей 5 (см. выше), которую располагают на другой половине формата А3.

Пример решения: на рисунке 6.1 по трем координатам построены по две проекции каждой из заданных точек: S, A, B, C, D, K, M, N, K, M, N.

На рис. 6.2 линия пересечения пирамиды с горизонтально проецирующей прямой призмой распадается на два замкнутых многоугольника: плоский [1;2;3;4] — пересечение верхней грани призмы с пирамидой и пространственный [5;6;7;8;9;10;11] – пересечение боковых граней призмы (отсеков горизонтально проецирующих плоскостей) с боковыми гранями пирамиды.

Фронтальная проекция многоугольника [1₂2₂3₂4₂] совпадает с фронтальной проекцией верхней грани призмы [K₂M₂N₂], отсека горизонтальной плоскости уровня, но в пределах очерка пирамиды. Горизонтальную проекцию четырёхугольника строят из условия принадлежности точки 1 ребру SA пирамиды, точки 2 ребру SB, точки 3 ребру SC, точки 4 ребру SD. Получают четырехугольник [1₁2₁3₁4₁], подобный четырёхугольнику основания пирамиды A₁B₁C₁D₁.

Горизонтальная проекция многоугольника [5₁6₁7₁8₁9₁10₁11₁] совпадает с горизонтальной проекцией призмы. Фронтальную проекцию многоугольника строят из условия принадлежности точки 5 ребру SA, точки 7 ребру SB, точки 8 ребру SC, точки 10 ребру SD. Точку 6 строят из условия принадлежности прямой (5;12), принадлежащей грани пирамиды ASB, точку 9 из условия принадлежности прямой (10;13), принадлежащей грани пирамиды CSD, точку 11 из условия принадлежности прямой (5;14), принадлежащей грани пирамиды ASD.

Видимость сторон многоугольника сечения определяется из условия видимости граней многогранников. Если сторона принадлежит видимым граням и пирамиды, и призмы, то она видима; если не видна хотя бы одна из граней, то отрезок линии пересечения невидим. Например, отрезок [5;6] принадлежит видимым на ₂ граням ASB пирамиды и KNNK призмы, поэтому на ₂ он видим; отрезок [8;9] принадлежит видимой на ₂ грани KMMK призмы и не видимой на ₂ грани CSD пирамиды, поэтому на ₂ он не видим.

Считают, что многогранники существуют только до линии пересечения, поэтому участки ребер одного многогранника, расположенные внутри другого многогранника, изображают тонкой сплошной линией. На горизонтальной плоскости это отрезки [1₁5₁], [2₁7₁], [3₁8₁], [4₁10₁]; на фронтальной плоскости - отрезки [1₂5₂], [2₂7₂], [3₂8₂], [4₂10₂], [6₂K₂], [9₂M₂], [11₂N₂].

Задача 7

Условие задачи. Решение задач на многогранниках способом перемены плоскостей проекций (приложение 5).

Общие указания. Задачу выполнить на формате А3 в масштабе 1:1. Обязательно обозначить новые оси проекций, новые проекции точек, расстояния, откладываемые по линиям проекционной связи от осей, определить видимость ребер многогранника на каждой плоскости проекций, проставить размеры, выполнение которых требовалось в задании.

Пирамиды обозначаются, начиная с вершины S и заканчивая вершинами основания: например, SABC. Для обозначения призмы сначала записываются вершины одного основания, потом второго: например, ABCA'B'C', т.е. боковые ребра имеют обозначения AA', BB', CC'.

Метрические задачи связаны с нахождением натуральных величин отрезков, линейных и двугранных углов, отсеков плоскостей; позиционные — с поиском точек и прямых пересечения. Наиболее просто первые задачи решаются, когда геометрические фигуры параллельны плоскости проекций, последние – в случае, когда один из геометрических элементов, участвующих в пересечении, занимает проецирующее положение относительно плоскости проекции.

Решение данной задачи предполагает применение способа перемены плоскостей проекции. Новая плоскость проекций выбирается перпендикулярной одной из старых. Проецируемые геометрические фигуры при этом не меняют своего положения, но относительно новой плоскости проекции должны занимать частное положение, обеспечивающее получение проекций, наиболее удобных для решения поставленных задач.

Примеры решения. На рисунке 7.1 плоскость проекции П₄ перпендикулярна плоскости общего положения , заданной треугольником АВС, и плоскости проекций П₂, следовательно, ось x₂₄ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости  (x₂₄ ₂). Расстояния, откладываемые от оси x₂₄, равны расстояниям от оси x₁₂ до горизонтальных проекций точек. На плоскость П₄ плоскость  проецируется в прямую – след ₄, угол наклона которого к оси x₂₄  определяет угол наклона плоскости к плоскости проекции П₂. Новая плоскость проекций П₅ параллельна плоскости (АВС) и перпендикулярна плоскости проекций П₄, следовательно, ось x₄₅ параллельна на рисунке 7.1 следу ₄ (x₄₅  ₄). Расстояния, откладываемые от оси x₄₅, равны расстояниям от предыдущей оси x₂₄ до фронтальных проекций точек. На плоскости проекций П₅ получают натуральную величину треугольника АВС.

В некоторых задачах необходимо построить центры описанной или вписанной в треугольник окружностей, расположенных на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам или биссектрис углов треугольника. Просто это сделать, имея натуральную величину треугольника. На рисунке 7.1 точка О – центр описанной вокруг треугольника АВС окружности — найдена сначала на плоскости проекций П₅, затем по линии проекционной связи на П₄ (точка О₄ принадлежит следу ₄). Проекции точки О на П₁ и П₂ находят, используя так называемый «обратный ход»: расстояние от оси x₂₄ до точки О₂ равно расстоянию от точки О₅ до оси x₄₅, расстояние от оси x₁₂ до точки О₁ равно расстоянию от точки О₄ до оси x₂₄.

На рисунке 7.2 плоскость проекций П₄ перпендикулярна плоскости (АВС) и плоскости проекций П₁, следовательно, ось проекций x₁₄ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости  (x₁₄  h₁). Расстояния, откладываемые от оси x₁₄ равны расстояниям от оси x₁₂ до фронтальных проекций точек. На плоскость П₄ плоскость  проецируется в прямую — след ₄. Угол наклона ₄ к оси x₁₄  определяет угол наклона плоскости  к плоскости проекций П₁. Плоскость проекции П₅ параллельна  и перпендикулярна плоскости проекций П₄, следовательно, ось x₄₅ параллельна следу ₄ (x₄₅  ₄). Расстояния, откладываемые от оси x₄₅, равны расстояниям от предыдущей оси x₁₄ до горизонтальных проекций точек. Относительно П₄ плоскость  - проецирующая, относительно П₅ — плоскость уровня.

Для того чтобы найти натуральную величину линейного угла или построить геометрическое место точек, равноудалённых от сторон линейного угла – плоскость, проходящую через биссектрису угла перпендикулярно плоскости угла, необходимо плоскость, в которой расположен угол, перевести в плоскость уровня. На рисунке 7.2 на плоскости проекций П₅ угол  — натуральная величина угла САВ, прямая t – биссектриса этого угла, плоскость  - плоскость, точки которой равноудалены от сторон угла САВ. Плоскость  занимает проецирующее положение относительно П₅ и задаётся на ней следом ₅, совпадающим с проекцией биссектрисы t₅ (₅t₅). В данном задании необходимо определить видимость ребер изначально заданных всеми вершинами или построенных, исходя из условий, многогранников. На рисунке 7.3 видимость рёбер пирамиды SABC определяется с помощью конкурирующих точек 1 и 2 на П₁; 3 и 4 – на П₂.

Натуральная величина высоты пирамиды или призмы определяется на плоскости проекций, относительно которой плоскости основания занимают проецирующее положение. На рисунке 7.3 плоскость основания пирамиды (АВС) перпендикулярна плоскости проекций П₄ (x₁₄h₁). Отрезок S₄O₄, перпендикулярный ₄, есть натуральная величина высоты пирамиды. Для призмы – это отрезок, перпендикулярный проекциям оснований.

Угол между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью пересекающихся прямых, параллельных двум заданным скрещивающимся. Для этого плоскость, определяемую этими пересекающимися прямыми, необходимо перевести в плоскость уровня. На рисунке 7.3 угол скрещивания между рёбрами АС и SB определяется как угол пересечения в произвольной точке K прямых а и b: а  АС; b  SB.

На рисунке 7.4 плоскость проекций П₄ параллельна отрезку АВ и перпендикулярна плоскости проекций П₁, следовательно, ось x₁₄ параллельна горизонтальной проекции отрезка А₁В₁ (x  А₁В₁). На плоскость проекций П₄ отрезок АВ проецируется в отрезок натуральной величины, угол наклона которого к оси x₁₄  определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁. Плоскость проекций П₅ перпендикулярна отрезку АВ и плоскости проекций П₄, ось проекций x₄₅ перпендикулярна А₄В₄, проекция отрезка на П₅ — точка А₅В₅. На плоскости проекции П₆, параллельной отрезку АВ и перпендикулярной плоскости проекций П₂(x₂₆  А₂В₂), находят угол  — угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₂. Плоскость проекций П₇ перпендикулярна отрезку АВ и плоскости проекций П₆ (x₆₇А₆В₆). Относительно плоскостей проекций П₄ и П₆ отрезок АВ — отрезок прямой уровня, относительно П₅ и П₇ — отрезок проецирующей прямой.

Расстояние между прямой и точкой находят на плоскости, относительно которой прямая перпендикулярна. На рисунке 7.5 отрезок DO, определяющий расстояние от точки D до прямой АВ, проецируется в натуральную величину на плоскость проекций П_N, относительно которой прямая АВ перпендикулярна, следовательно, отрезок DO параллелен П_N.

Расстояние между скрещивающимися прямыми находят на плоскости, относительно которой одна из прямых перпендикулярна. На рисунке 7.6 прямая (DC) перпендикулярна плоскости проекций П_N, прямая АВ — общего положения. Отрезок КО, определяющий расстояние между прямыми АВ и CD, параллелен плоскости проекций П_N и проецируется на неё в натуральную величину. Отрезок O_NK_N по теореме о проецировании прямого угла перпендикулярен (А_NВ_N).

Натуральная величина двугранного угла при ребре многогранника определяется на плоскости, перпендикулярной ребру. Грани двугранного угла занимают относительно этой плоскости проецирующее положение. На рисунке 7.7 определён угол  — линейная величина двугранного угла при ребре CD: между гранями ACD и BCD. Плоскость проекций П_N перпендикулярна ребру CD. На рисунке 7 построен также след плоскости  — _N. Плоскость  представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от граней двугранного угла. Эта плоскость перпендикулярна плоскости проекций П_N, и след её на П_N совпадает с биссектрисой угла .

Геометрическое место точек, удалённых на расстояние R от прямой АВ (рисунок 7.8), представляет собой прямой круговой цилиндр  радиуса R, для которого прямая АВ является осью. Точки принадлежащие прямой CD и отстоящие от прямой АВ на расстояние R, находят как точки пересечения прямой CD с цилиндром : точки K и M. Наиболее просто эта задача решается в случае, когда цилиндр занимает проецирующее положение. На рисунке 7.8 плоскость проекций П_N перпендикулярна прямой АВ — оси цилиндра . Сам цилиндр проецируется на эту плоскость в окружность радиуса R, в пересечении которой с проекцией прямой C_ND_N находят проекции искомых точек К_N и M_N.

Плоскость , проходящая через точку S на расстоянии R от прямой АВ, является касательной к цилиндру  радиусом R с осью АВ (рисунок 7.9). Эта плоскость определяется точкой S и прямой касания l с цилиндром, параллельной прямой АВ:  (S,l). Плоскость проекций П_N перпендикулярна прямой АВ. Плоскость  проецируется на плоскость П_N в след _N, касательный к окружности — проекции цилиндра .

С помощью цилиндра находится и недостающая проекция прямой CD, отстоящей от прямой AB на расстояние R (рисунок 7.10). Прямая AB является осью, а прямая CD — образующей цилиндра радиуса R. Задача просто решается на плоскости проекций П₅ (рисунок 7.11), на которую цилиндр проецируется в окружность радиуса R, прямая AB — в центр окружности, а прямая CD — в точку, принадлежащую окружности и отстоящую от оси x₄₅ на расстояние t, равное расстоянию между С₁D₁ и осью x₁₄.

В результате имеют два варианта решения — прямые СD и CD. Точки С₅D₅ и C₅D₅ — проекции искомых прямых на П₅.

Геометрическое место точек, удалённых от заданной точки на заданное расстояние, представляет собой сферу с центром в заданной точке радиусом, равным заданному расстоянию. На рисунке 7.12 построена плоскость , проходящая через заданную прямую AB на расстоянии R от заданной точки S. Эта плоскость является касательной к сфере радиусом R с центром в точке S и наиболее просто строится на плоскости проекций П_N, относительно которой прямая AB перпендикулярна, и, следовательно, сама плоскость  является проецирующей. След плоскости ₄ строится как прямая, касательная к окружности радиусом R с центром в точке S_N — проекции сферы. Плоскость  определяется прямой АВ и точкой касания K со сферой. На рисунке 7.13 проекцию точки K на предыдущей плоскости проекций П_N–1 строят из условия принадлежности точки поверхности сферы. На следующих плоскостях проекций можно воспользоваться «обратным ходом» — соответствующими расстояниями от проекций точек до осей.

Для того чтобы построить прямую, равноудалённую от трёх параллельных прямых, необходимо перевести их в проецирующее положение, когда они спроецируются в точки, и, считая эти точки вершинами треугольника, найти центр описанной вокруг него окружности. Этот центр и будет проекцией искомой прямой. Она параллельна заданным прямым.

Угол между скрещивающимися прямыми l и m можно определить, имея плоскость проекций, параллельную им (рисунок 7.14). Для этого одну из прямых l переводят в проецирующее положение (l  П_N–1), а следующую плоскость проекции П_N выбирают параллельно второй прямой m(x_N–1,N  m_N–1), следовательно, обе прямые относительно последней плоскости проекций П_N параллельны, и угол пересечения проекций прямых на П_N есть искомый угол скрещивания .

Чтобы построить недостающую проекцию прямой CD, пересекающей заданную прямую общего положения AB под прямым углом (рисунок 7.15), необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. Для этого необходима плоскость проекций, параллельная прямой АВ. Прямой угол на эту плоскость проекций спроецируется в натуральную величину. На рисунке 7.16 плоскость проекций П₄ параллельна прямой АВ (x₂₄  А₂В₂), поэтому прямой угол между прямыми АВ и CD проецируется на эту плоскость в натуральную величину (А₄В₄  С₄D₄). Расстояния от оси x₁₂ до недостающих проекций точек С и D на П₁ равны расстояниям от оси x₂₄ до С₄ и D₄.