Задача 3

Условие задачи: через точку A провести прямую l, параллельную плоскости (DE  FG) и пересекающую прямую (BC) (приложение 2).

Общие указания: задачу необходимо выполнить на двухкартинном чертеже простым карандашом на половине формата А3 в масштабе 1:1 совместно с задачей 4 (см. ниже), которую располагают на другой половине формата А3.

Пример решения: на рисунке 3.1 по трем координатам построены по две проекции каждой из заданных точек: A, B, C, D, E, F, G.

Задача решается по следующему алгоритму:

— через точку A проводят плоскость, параллельную заданной. Условие параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой. В плоскости  строят третью прямую DG, пересекающую заданные DE и FG, в точке A проводят прямую a, параллельную прямой DE, и прямую b, параллельную прямой DG. Таким образом, плоскость a  b параллельна заданной (DE  DG);

— на рис. 3.2 находят точку пересечения K построенной плоскости a  b с заданной прямой (BC) (см. задачу 1);

— строят искомую прямую l: соединяют точки A и K.

Задача 4

Условие задачи: построить прямую пересечения плоскостей (DE  FG) и (ABC) (приложение. 2).

Общие указания: задачу необходимо выполнить на двух картинном чертеже простым карандашом на половине формата А3 в масштабе 1:1 совместно с задачей 3 (см. выше), которую располагают на другой половине формата А3.

Пример решения: на рисунке 4.1 по трем координатам построены по две проекции каждой из заданных точек: A, B, C, D, E, F, G.

Задача решается способом вспомогательных секущих плоскостей. Вводят две плоскости частного положения, пересекающие заданные плоскости. С их помощью находят две точки, общие для двух заданных плоскостей. Соединяют точки прямой, которая и есть искомая.

На рис. 4.1 вспомогательная плоскость  — горизонтальная плоскость уровня — пересекает плоскость (DE  FG) по прямой (D;3), плоскость (ABC) по прямой (1;2), в пересечении прямых (D;3) и (1;2) получают общую точку S.

На рис. 4.2. введена вторая вспомогательная плоскость , параллельная плоскости , которая пересекает плоскость (DE  FG) по прямой (6;G), плоскость (ABC) по прямой (4;5), в пересечении прямых (6;G) и (4;5) получают общую точку R.

Прямая (SR) – искомая.

Для того чтобы ответ получился в пределах отведённого поля чертежа, не всегда можно применить в качестве вспомогательных горизонтальные плоскости уровня. Это могут быть и фронтальные плоскости уровня, и проецирующие. На рисунках 4.3 и 4.4 даны варианты вспомогательных секущих проецирующих плоскостей  и , проведённых через прямые, задающие плоскости: горизонтально проецирующая  через сторону треугольника AB и горизонтально проецирующая  через прямую FG. С помощью плоскости  найдена общая точка T, с помощью плоскости  найдена общая точка P.

Задача 5

Условие задачи: Построить точки пересечения прямой l(KM) с пирамидой SABC. Определить видимость прямой относительно пирамиды (приложение 3).

Общие указания: задачу необходимо выполнить на двухкартинном чертеже простым карандашом на половине формата А3 в масштабе 1:1 совместно с задачей 6 (см. ниже), которую располагают на другой половине формата А3.

Пример решения: на рисунке 5.1 по трем координатам построены по две проекции каждой из заданных точек: S, A, B, C, K, M.

На рис. 5.2 определена видимость ребер пирамиды:

— на ₁ с помощью конкурирующих точек 1 и 2, точка 1 принадлежит ребру SA, точка 2 — ребру BC, точка 1 выше точки 2, следовательно, ребро SA видимо на ₁, ребро BC не видимо;

— на ₂ с помощью точек 3 и 4, точка 3 принадлежит ребру AC, точка 4 — ребру BS, точка 3 ближе точки 4, следовательно, ребро AC видимо на ₂, ребро BS не видимо.

Задача решается по следующему алгоритму:

— через прямую l проводят вспомогательную проецирующую плоскость . На рис. 5.3 плоскость  — фронтально проецирующая (₂  l₂);

— плоскость  пересекает пирамиду SABC по четырехугольнику [1234]: точка 1 принадлежит ребру AB, точка 2 принадлежит ребру AC, точка 3 — ребру BS, точка 4 — ребру CS. На рис. 5.3 горизонтальная проекция четырехугольника построена с учетом видимости: видимой грани пирамиды принадлежит видимый отрезок четырехугольника сечения и наоборот;

— точки пересечения L, N прямой l с четырехугольником [1234] (рис. 5.4) есть искомые точки пересечения с пирамидой SABC. Точка L принадлежит прямой (2;4) грани (ACS), точка N прямой (1;3) грани (ABS);

Если точка пересечения принадлежит видимой на данной плоскости проекций грани, то прямая тоже видна и наоборот. Грани пирамиды непрозрачны, поэтому между точками пересечения прямая не видна. Грань (ACS) видна на ₂, поэтому видна и проекция прямой l правее точки L_2.. Грань (ABS) на ₂ не видна, поэтому не видна и проекция прямой l левее точки N₂, пока прямая не вышла из за контура пирамиды.