§6.Системы уравнений.

Пример 20. Решите систему уравнений

Решение. Данная система является симметрической: уравнения не меняются, если переменные x и y поменять местами. Как правило, такие системы упрощаются при введении замены x+y=u, xy= .

Тогда

Получаем систему:

Возвращаемся к исходным переменным.

Ответ: (9;6),(6;9).

Замечание. Если x+y=u, xy=v, то

x²+y²=u²-2v (см. выше в решении примера);

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=u(u²-2v-v)=u³-3uv;

x⁴+y⁴=x⁴+y⁴+2x²y²-2x²y²=(x²+y²) ²-2(xy)²=(u²-2v)²-2v²=u⁴-4u²v+4v²-2v²=u⁴-4u²v+2v².

Пример 21. Решите систему уравнений

Решение. Из первого уравнения, умноженного на 2, вычтем второе уравнение системы. Получим уравнение

3x²-8xy+4y²=0.

Решим его как квадратное уравнение относительно переменной х.

Теперь подставим в первое уравнение исходной системы.

1) x=2y. Тогда получаем

8y²-6y²+y²=3<=>y²=1<=>y=+1. Значит, подходят пары (2;1) и (-2;-1).

2) Тогда получаем

.

Ответ: (2;1), (-2;-1).

Замечание. Уравнения вида ax²+bxy+cy²=0 называются однородными уравнениями второй степени относительно х и у. Если их решать как квадратные относительно одной из переменных, то можно выразить х как линейную функцию у (или наоборот). Обратите внимание, что ни одно из уравнений исходной системы не является однородным, так как правая часть отлична от нуля.

Решить уравнение с двумя переменными как квадратное относительно одной из них может оказаться полезным и в некоторых других случаях.

Пример 22. Решите систему уравнений

Решение. Перепишем первое уравнение в виде

и решим его как квадратное относительно x.

Подставляем во второе уравнение исходной системы:

1)

Если , то

если , то

2)

Если у=1, то х=3;

если , то .

Ответ:

Пример 23. Решите систему уравнений

Решение. Перепишем первое уравнение в виде

и решим его как квадратное уравнение относительно х. Получаем

При всех у, кроме у=1, дискриминант отрицателен, и система не имеет решений. Остаётся проверить случай у=1. Подставляя в оба уравнения системы, получаем

Ответ: (2;1).

§7. Множества на плоскости.

Пример 24. Изобразите на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим условиям:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Решение.

а) Заметим, что множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству симметрично относительно осей координат. Действительно, результаты подстановки (x₀; y₀), (-x₀; y₀), (x₀; -y₀), (-x₀; -y₀) в неравенство одинаковые, а это означает, что либо все четыре точки принадлежат множеству, либо все четыре не принадлежат (см. рис. 1). Поэтому поступим так: построим множество в первой четверти, а затем отразим его относительно осей координат. В первой четверти (при , ) неравенство принимает вид

Это множество изображено на рис. 2а. Далее отражаем относительно Ох, затем – относительно Оу и получаем ответ (рис. 2б).

(x₀; y₀)

(-x₀; y₀)

y₀

y

x₀

-x₀

x

0

(x₀; -y₀)

(-x₀; -y₀)

-y₀

Рис. 1

рис. 2б

б) Изобразим на плоскости множество точек, в которых выражения, стоящие под модулями, обращаются в ноль. Получаем две прямые у=2х и у=1/2х, которые делят плоскость на 4 части. Разберем 4 случая (см. рис. 3а).

1) В этой области (это можно определить, посмотрев знаки выражений в какой-либо одной точке области, например, в (-1; -1)). Условие принимает вид

В итоге получаем луч – часть прямой y=x-2, лежащую в этой области.

2) Здесь . Получаем

Нам подходит часть этой прямой, лежащая в рассматриваемой области.

3) Тогда

4) Тогда

Окончательный результат изображен на рис. 3б; для наглядности прямые у=2х и у=х/2 изображены пунктиром.

в)

Это двойное неравенство задает полосу между двумя параллельными прямыми у = -2х-3 и у=-2х+3 (см. рис. 4).

рис. 4

рис. 5

г) Преобразуем уравнение, выделяя полные квадраты:

Это окружность с центром в точке (-4; -12) радиуса 5.

Замечание. Уравнение , где R>0, задает окружность с центром (a; b) радиуса R.

д) Данное множество точек симметрично относительно Оу. (Действительно, при подстановке (x₀; y₀) и (-x₀; y₀) неравенство имеет один и тот же вид, а точки (x₀; y₀) и (-x₀; y₀) симметричны относительно Оу – см. рис. 1). Будем действовать аналогично пункту а): сначала изобразим часть множества справа от Оу (т.е. при ), а затем отразим ее относительно Оу.

При неравенство принимает вид

Оно задает круг с центром в точке (2; -3) радиуса 3. Нам подходит часть этого круга, лежащая справа от Оу. Далее полученную часть круга отражаем относительно Оу (см. рис. 5).

е) Это множество симметрично относительно Ох (обоснование аналогично пунктам а), д)). При получаем

Это уравнение гиперболы. Чтобы ее построить, выделим целую часть дроби:

Асимптотами гиперболы являются прямые y=3 и x=-4. Гипербола изображена на рис. 6а.

рис. 6a

рис. 6б

Оставляем часть этой гиперболы, лежащую выше оси Оу, и отражаем ее относительно оси Оу. Получаем ответ (рис. 6б).

ж) Когда мы сравниваем произведение нескольких множителей с нулем, удобнее всего использовать метод интервалов. Отметим на плоскости множества точек, в которых каждая из скобок обращается в ноль. Получаем три прямые: x=-3, y=x-1 и y=-x. Все точки этих прямых удовлетворяют неравенству (если бы неравенство было строгое, мы бы провели эти прямые пунктиром, чтобы показать, что точки, лежащие на них, не подходят).

Эти три прямые разделили плоскость на 7 частей. Выберем точку в любой из областей и посчитаем значение левой части в этой точке. Тем самым мы определили знак левой части неравенства во всей этой области. Далее при переходе в соседнюю область знак меняется, если множитель, соответствующий той прямой, через которую мы переходим, записан в нечетной степени, и сохраняется, если в четной. В итоге получаем следующее множество (рис. 7).

рис. 7

рис. 8

з) Задача аналогична пункту ж). Обратите внимание, что при переходе через прямую у-3=0 знак не меняется. Множество изображено на рис. 8. Оно состоит из заштрихованных областей и части прямой у=3, не лежащей в этих областях (отрезок, соединяющий точки (-3; 3) и (3; 3)).